Álgebra Ejemplos

$\frac{2 x + 5}{x^{2} - 3 x} - \frac{3 x + 5}{x^{3} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - 3 x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{2 x + 5}{x \cdot x - 3 x} - \frac{3 x + 5}{x^{3} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $- 3 x$ .

$\frac{2 x + 5}{x \cdot x + x \cdot - 3} - \frac{3 x + 5}{x^{3} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x^{3} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 9 x$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x \cdot x^{2} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $x$ de $- 9 x$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 9} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x^{2} - 9)} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Paso 1.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x^{2} - 3^{2})} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Paso 1.2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

Paso 1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{x^{2} - 3^{2}}$

Paso 1.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 2

Obtén el denominador común

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{2 x + 5}{x (x - 3)}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{2 x + 5}{x (x - 3)}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(2 x + 5) (x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(2 x + 5) (x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - (\frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x}{x})$

Paso 2.4

Multiplica $\frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(2 x + 5) (x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{(x + 1) x}{(x + 3) (x - 3) x}$

Paso 2.5

Reordena los factores de $(x + 3) (x - 3) x$ .

$\frac{(2 x + 5) (x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{(x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(2 x + 5) (x + 3) - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Expande $(2 x + 5) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x (x + 3) + 5 (x + 3) - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 5 (x + 3) - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 5 x + 5 \cdot 3 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 5 x + 15 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.2.2.2

Suma $6 x$ y $5 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 + (- x - 1 \cdot 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 + (- x - 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - x \cdot x - 1 x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.2.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - (x \cdot x) - 1 x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.2.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - x^{2} - 1 x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.2.7

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - x^{2} - x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 11 x + 15 - x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.3.2

Resta $x$ de $11 x$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 15}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + 10 x + 15 - (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 10 x + 15 - (3 x) - 1 \cdot 5}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 15 - 3 x - 1 \cdot 5}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 15 - 3 x - 5}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 4.4

Resta $3 x$ de $10 x$ .

$\frac{x^{2} + 7 x + 15 - 5}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 4.5

Resta $5$ de $15$ .

$\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x (x + 3) (x - 3)}$

Paso 4.6

Factoriza $x^{2} + 7 x + 10$ con el método AC.

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Paso 4.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $10$ y cuya suma es $7$ .

$2, 5$

Paso 4.6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$