Álgebra Ejemplos

$4 x^{4} + 27 x^{2} - 81 = 0$

Paso 1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 {(x^{2})}^{2} + 27 x^{2} - 81 = 0$

Paso 2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$4 u^{2} + 27 u - 81 = 0$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 81 = - 324$ y cuya suma es $b = 27$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $27$ de $27 u$ .

$4 u^{2} + 27 (u) - 81 = 0$

Paso 3.1.2

Reescribe $27$ como $- 9$ más $36$

$4 u^{2} + (- 9 + 36) u - 81 = 0$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 u^{2} - 9 u + 36 u - 81 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 u^{2} - 9 u) + 36 u - 81 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (4 u - 9) + 9 (4 u - 9) = 0$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u - 9$ .

$(4 u - 9) (u + 9) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 9) (x^{2} + 9) = 0$

Paso 5

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 9) (x^{2} + 9) = 0$

Paso 6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 9) = 0$

Paso 7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 3$ .

$(2 x + 3) (2 x - 3) (x^{2} + 9) = 0$

Paso 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

Paso 9

Establece $2 x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $2 x + 3$ igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Paso 9.2

Resuelve $2 x + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 9.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 3$

Paso 9.2.2

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 9.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 9.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 9.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Paso 9.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{2}$

Paso 10

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $2 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 10.2.2

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 10.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 11

Establece $x^{2} + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x^{2} + 9$ igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x^{2} + 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 9$

Paso 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Paso 11.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Paso 11.2.3.1

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Paso 11.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Paso 11.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Paso 11.2.3.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Paso 11.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Paso 11.2.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Paso 11.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3 i$

Paso 11.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3 i$

Paso 11.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3 i, - 3 i$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 3) (2 x - 3) (x^{2} + 9) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 3 i, - 3 i$