Álgebra Ejemplos

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3} = \frac{2 x}{x - 1} - \frac{x}{x - 3}$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $\frac{2 x}{x - 1}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3} - \frac{2 x}{x - 1} = - \frac{x}{x - 3}$

Paso 1.2

Suma $\frac{x}{x - 3}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3} - \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x}{x - 3} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 3} - \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x}{x - 3}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2} - 4 x + 3$ con el método AC.

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Paso 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 3, - 1$

Paso 2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - \frac{2 x}{x - 1} + \frac{x}{x - 3} = 0$

Paso 2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{2 x}{x - 1}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - (\frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}) + \frac{x}{x - 3} = 0$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{2 x}{x - 1}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - \frac{2 x (x - 3)}{(x - 1) (x - 3)} + \frac{x}{x - 3} = 0$

Paso 2.2.3

Multiplica $\frac{x}{x - 3}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - \frac{2 x (x - 3)}{(x - 1) (x - 3)} + \frac{x}{x - 3} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} = 0$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{x}{x - 3}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{5}{(x - 3) (x - 1)} - \frac{2 x (x - 3)}{(x - 1) (x - 3)} + \frac{x (x - 1)}{(x - 3) (x - 1)} = 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 - 2 x (x - 3) + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3 + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{5 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 3 + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 3 + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x (x - 1)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x \cdot x + x \cdot - 1}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.5

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x^{2} + x \cdot - 1}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x^{2} - 1 \cdot x}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.7

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + 6 x + x^{2} - x}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 2.5

Suma $- 2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{5 - x^{2} + 6 x - x}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 2.6

Resta $x$ de $6 x$ .

$\frac{5 - x^{2} + 5 x}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 2.7

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} + 5 x + 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 2.8

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 5 x + 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 2.9

Factoriza $- 1$ de $5 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 5 x) + 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 2.10

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 5 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 5 x) + 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 2.11

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$\frac{- (x^{2} - 5 x) - 1 (- 5)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 2.12

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 5 x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{- (x^{2} - 5 x - 5)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 2.13

Reescribe $- (x^{2} - 5 x - 5)$ como $- 1 (x^{2} - 5 x - 5)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 5 x - 5)}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} - 5 x - 5}{(x - 1) (x - 3)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} - 5 x - 5 = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 5$ y $c = - 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.3

Suma $25$ y $20$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.4

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 4.3.1.4.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Paso 4.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.3

Suma $25$ y $20$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.4

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 4.4.1.4.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Paso 4.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}$

Paso 4.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Paso 4.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.3

Suma $25$ y $20$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.4

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 4.5.1.4.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Paso 4.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Paso 4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Forma decimal:

$x = 5.85410196 \dots, - 0.85410196 \dots$