Álgebra Ejemplos

$\ln (x) + \ln (3 x) = 14$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (3 x)) = 14$

Paso 1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\ln (3 x \cdot x) = 14$

Paso 1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1

Mueve $x$ .

$\ln (3 (x \cdot x)) = 14$

Paso 1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (3 x^{2}) = 14$

Paso 2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (3 x^{2})} = e^{14}$

Paso 3

Reescribe $\ln (3 x^{2}) = 14$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{14} = 3 x^{2}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $3 x^{2} = e^{14}$ .

$3 x^{2} = e^{14}$

Paso 4.2

Divide cada término en $3 x^{2} = e^{14}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $3 x^{2} = e^{14}$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{e^{14}}{3}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{e^{14}}{3}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{e^{14}}{3}$

Paso 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{e^{14}}{3}}$

Paso 4.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{e^{14}}{3}}$ .

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Paso 4.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{e^{14}}{3}}$ como $\frac{\sqrt{e^{14}}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{14}}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.2.1

Reescribe $e^{14}$ como ${(e^{7})}^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{{(e^{7})}^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.4.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{e^{7}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.4.3

Multiplica $\frac{e^{7}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{e^{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.4.4.1

Multiplica $\frac{e^{7}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.4.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 4.4.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 4.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 4.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 4.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}, - \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x) + \ln (3 x) = 14$ sea verdadera.

$x = \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$x = 633.14144922 \dots$