Álgebra Ejemplos

$2 \log_{3} (6 x) - \log_{3} (4 x) = 2 \log_{3} (x + 2)$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \log_{3} (6 x) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $2 \log_{3} (6 x) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Simplifica $2 \log_{3} (6 x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{3} ({(6 x)}^{2}) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

Paso 2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $6 x$ .

$\log_{3} (6^{2} x^{2}) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

Paso 2.1.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\log_{3} (36 x^{2}) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

Paso 2.1.1.4

Simplifica $- 2 \log_{3} (x + 2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{3} (36 x^{2}) - \log_{3} (4 x) - \log_{3} ({(x + 2)}^{2}) = 0$

Paso 2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{36 x^{2}}{4 x}) - \log_{3} ({(x + 2)}^{2}) = 0$

Paso 2.1.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{36 x^{2}}{4 x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $36$ y $4$ .

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $4$ de $36 x^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{4 (9 x^{2})}{4 x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Paso 2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.4.2.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{4 (9 x^{2})}{4 (x)}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Paso 2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{3} (\frac{\frac{4 (9 x^{2})}{4 x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Paso 2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{3} (\frac{\frac{9 x^{2}}{x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Paso 2.1.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.1.5.1

Factoriza $x$ de $9 x^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Paso 2.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x^{1}}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Paso 2.1.5.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x \cdot 1}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Paso 2.1.5.2.3

Cancela el factor común.

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x \cdot 1}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Paso 2.1.5.2.4

Reescribe la expresión.

$\log_{3} (\frac{\frac{9 x}{1}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Paso 2.1.5.2.5

Divide $9 x$ por $1$ .

$\log_{3} (\frac{9 x}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Paso 3

Reescribe $\log_{3} (\frac{9 x}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{9 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 4

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$9 x = 3^{0} ({(x + 2)}^{2})$

Paso 5

Simplifica $3^{0} ({(x + 2)}^{2})$ .

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Paso 5.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$9 x = 1 {(x + 2)}^{2}$

Paso 5.1.2

Multiplica ${(x + 2)}^{2}$ por $1$ .

$9 x = {(x + 2)}^{2}$

Paso 5.1.3

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$9 x = (x + 2) (x + 2)$

Paso 5.2

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$9 x = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 5.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$9 x = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 5.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$9 x = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Paso 5.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$9 x = x^{2} + 4 x + 4$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$9 x - x^{2} = 4 x + 4$

Paso 6.2

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$9 x - x^{2} - 4 x = 4$

Paso 6.3

Resta $4 x$ de $9 x$ .

$- x^{2} + 5 x = 4$

Paso 7

Factoriza $x$ de $- x^{2} + 5 x$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$x (- x) + 5 x = 4$

Paso 7.2

Factoriza $x$ de $5 x$ .

$x (- x) + x \cdot 5 = 4$

Paso 7.3

Factoriza $x$ de $x (- x) + x \cdot 5$ .

$x (- x + 5) = 4$

Paso 8

Simplifica $x (- x + 5)$ .

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Paso 8.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (- x) + x \cdot 5 = 4$

Paso 8.1.2

Reordena.

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Paso 8.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- x \cdot x + x \cdot 5 = 4$

Paso 8.1.2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$- x \cdot x + 5 \cdot x = 4$

Paso 8.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.2.1

Mueve $x$ .

$- (x \cdot x) + 5 \cdot x = 4$

Paso 8.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- x^{2} + 5 \cdot x = 4$

$- x^{2} + 5 x = 4$

Paso 9

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} + 5 x - 4 = 0$

Paso 10

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 10.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} + 5 x - 4$ .

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Paso 10.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 5 x - 4 = 0$

Paso 10.1.2

Factoriza $- 1$ de $5 x$ .

$- (x^{2}) - (- 5 x) - 4 = 0$

Paso 10.1.3

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$- (x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 4 = 0$

Paso 10.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 5 x)$ .

$- (x^{2} - 5 x) - 1 \cdot 4 = 0$

Paso 10.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 5 x) - 1 (4)$ .

$- (x^{2} - 5 x + 4) = 0$

Paso 10.2

Factoriza.

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Paso 10.2.1

Factoriza $x^{2} - 5 x + 4$ con el método AC.

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Paso 10.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 4, - 1$

Paso 10.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 4) (x - 1)) = 0$

Paso 10.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 4) (x - 1) = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 12

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 12.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 13

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 13.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 4) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 4, 1$