Álgebra Ejemplos

$x^{- 3} = 64$

Paso 1

Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{- 3} - 64 = 0$

Paso 2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} - 64 = 0$

Paso 3

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{1^{3}}{x^{3}} - 64 = 0$

Paso 4

Reescribe $\frac{1^{3}}{x^{3}}$ como ${(\frac{1}{x})}^{3}$ .

${(\frac{1}{x})}^{3} - 64 = 0$

Paso 5

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

${(\frac{1}{x})}^{3} - 4^{3} = 0$

Paso 6

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = \frac{1}{x}$ y $b = 4$ .

$(\frac{1}{x} - 4) ({(\frac{1}{x})}^{2} + \frac{1}{x} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{x}$ .

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 7.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 7.3

Combina $\frac{1}{x}$ y $4$ .

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} + 4^{2}) = 0$

Paso 7.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} + 16) = 0$

Paso 7.5

Reordena los términos.

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Paso 8

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} - 4 \cdot \frac{x}{x}) (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Paso 9

Combina $- 4$ y $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} + \frac{- 4 x}{x}) (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Paso 11

Para escribir $\frac{4}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Paso 12

Escribe cada expresión con un denominador común de $x^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 12.1

Multiplica $\frac{4}{x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Paso 12.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Paso 13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x + 1}{x^{2}} + 16) = 0$

Paso 14

Para escribir $16$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x + 1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}) = 0$

Paso 15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot \frac{4 x + 1 + 16 x^{2}}{x^{2}} = 0$

Paso 16

Reordena los términos.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot \frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Paso 17

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} = 0$

$\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Paso 18

Establece $\frac{1 - 4 x}{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 18.1

Establece $\frac{1 - 4 x}{x}$ igual a $0$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} = 0$

Paso 18.2

Resuelve $\frac{1 - 4 x}{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 18.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$1 - 4 x = 0$

Paso 18.2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 18.2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x = - 1$

Paso 18.2.2.2

Divide cada término en $- 4 x = - 1$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 18.2.2.2.1

Divide cada término en $- 4 x = - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 18.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 18.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 18.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 18.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 4}$

Paso 18.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 18.2.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{4}$

Paso 19

Establece $\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 19.1

Establece $\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}}$ igual a $0$ .

$\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Paso 19.2

Resuelve $\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 19.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Paso 19.2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 19.2.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 19.2.2.2

Sustituye los valores $a = 16$ , $b = 4$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.3

Simplifica.

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Paso 19.2.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 19.2.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Paso 19.2.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.3.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.3.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.3.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.3.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 19.2.2.3.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.3.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.3.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 19.2.2.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Paso 19.2.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 19.2.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 19.2.2.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Paso 19.2.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.4.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.4.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.4.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.4.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 19.2.2.4.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.4.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.4.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.4.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 19.2.2.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Paso 19.2.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Paso 19.2.2.4.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Paso 19.2.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{8}$

Paso 19.2.2.4.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{8}$

Paso 19.2.2.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

Paso 19.2.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 19.2.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 19.2.2.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Paso 19.2.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.5.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.5.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.5.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.5.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 19.2.2.5.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.5.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.5.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 19.2.2.5.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 19.2.2.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Paso 19.2.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Paso 19.2.2.5.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Paso 19.2.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{8}$

Paso 19.2.2.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Paso 19.2.2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Paso 19.2.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Paso 20

La solución final comprende todos los valores que hacen $\frac{1 - 4 x}{x} \cdot \frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$