Álgebra Ejemplos

$4 x^{5} - 8 x^{3} + 4 x = 0$

Paso 1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{5} - 8 x^{3} + 4 x$ .

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Paso 1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{5}$ .

$4 x (x^{4}) - 8 x^{3} + 4 x = 0$

Paso 1.2

Factoriza $4 x$ de $- 8 x^{3}$ .

$4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2}) + 4 x = 0$

Paso 1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x$ .

$4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2}) + 4 x (1) = 0$

Paso 1.4

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2})$ .

$4 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 4 x (1) = 0$

Paso 1.5

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 4 x (1)$ .

$4 x (x^{4} - 2 x^{2} + 1) = 0$

Paso 2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} + 1) = 0$

Paso 3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$4 x (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Paso 4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$4 x (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Paso 4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Paso 4.3

Reescribe el polinomio.

$4 x (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

$4 x {(u - 1)}^{2} = 0$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$4 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Paso 6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$4 x {(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

Paso 7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$4 x {((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

Paso 8

Factoriza.

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Paso 8.1

Aplica la regla del producto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$4 x ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0$

Paso 8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 x {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 10

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 11

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 11.2

Resuelve ${(x + 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 11.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 12

Establece ${(x - 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece ${(x - 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 12.2

Resuelve ${(x - 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 12.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 12.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 13

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1, 1$