Álgebra Ejemplos

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$ , $y = 2 x - 1$

Paso 1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 2 x - 1$

Paso 2

Resuelve $\sqrt{1 - x^{2}} = 2 x - 1$ en $x$ .

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Paso 2.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = {(2 x - 1)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 1)}^{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 1)}^{2}$

Paso 2.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 1)}^{2}$

Paso 2.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 - x^{2})}^{1} = {(2 x - 1)}^{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Simplifica.

$1 - x^{2} = {(2 x - 1)}^{2}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Simplifica ${(2 x - 1)}^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Reescribe ${(2 x - 1)}^{2}$ como $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$1 - x^{2} = (2 x - 1) (2 x - 1)$

Paso 2.2.3.1.2

Expande $(2 x - 1) (2 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - x^{2} = 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)$

Paso 2.2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - x^{2} = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)$

Paso 2.2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - x^{2} = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 - x^{2} = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.2.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$1 - x^{2} = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.2.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 - x^{2} = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.2.3.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$1 - x^{2} = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.2.3.1.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$1 - x^{2} = 4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.2.3.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$1 - x^{2} = 4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1$

Paso 2.2.3.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - x^{2} = 4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1$

Paso 2.2.3.1.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$1 - x^{2} = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Paso 2.3

Resuelve $x$

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Paso 2.3.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$4 x^{2} - 4 x + 1 = 1 - x^{2}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 4 x + 1 + x^{2} = 1$

Paso 2.3.2.2

Suma $4 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$5 x^{2} - 4 x + 1 = 1$

Paso 2.3.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x^{2} - 4 x + 1 - 1 = 0$

Paso 2.3.4

Combina los términos opuestos en $5 x^{2} - 4 x + 1 - 1$ .

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Paso 2.3.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$5 x^{2} - 4 x + 0 = 0$

Paso 2.3.4.2

Suma $5 x^{2} - 4 x$ y $0$ .

$5 x^{2} - 4 x = 0$

Paso 2.3.5

Factoriza $x$ de $5 x^{2} - 4 x$ .

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Paso 2.3.5.1

Factoriza $x$ de $5 x^{2}$ .

$x (5 x) - 4 x = 0$

Paso 2.3.5.2

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$x (5 x) + x \cdot - 4 = 0$

Paso 2.3.5.3

Factoriza $x$ de $x (5 x) + x \cdot - 4$ .

$x (5 x - 4) = 0$

Paso 2.3.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$5 x - 4 = 0 + y = 2 x - 1$

Paso 2.3.7

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.3.8

Establece $5 x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.8.1

Establece $5 x - 4$ igual a $0$ .

$5 x - 4 = 0$

Paso 2.3.8.2

Resuelve $5 x - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.8.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 4$

Paso 2.3.8.2.2

Divide cada término en $5 x = 4$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.3.8.2.2.1

Divide cada término en $5 x = 4$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Paso 2.3.8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.3.8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Paso 2.3.8.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{5}$

Paso 2.3.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (5 x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{4}{5}$

Paso 2.4

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{1 - x^{2}} = 2 x - 1$ sea verdadera.

$x = \frac{4}{5}$

Paso 3

Evalúa $y$ cuando $x = \frac{4}{5}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{4}{5}$ por $x$ .

$y = 2 (\frac{4}{5}) - 1$

Paso 3.2

Simplifica $2 (\frac{4}{5}) - 1$ .

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Paso 3.2.1

Multiplica $2 (\frac{4}{5})$ .

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Paso 3.2.1.1

Combina $2$ y $\frac{4}{5}$ .

$y = \frac{2 \cdot 4}{5} - 1$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{8}{5} - 1$

Paso 3.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{8}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 3.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{8}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}$

Paso 3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{8 - 1 \cdot 5}{5}$

Paso 3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$y = \frac{8 - 5}{5}$

Paso 3.2.5.2

Resta $5$ de $8$ .

$y = \frac{3}{5}$

Paso 4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{4}{5}, y = \frac{3}{5}$

Paso 6