Álgebra Ejemplos

$\log_{3} (x + 4) - \log_{3} (x + 2) = \log_{3} (27)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x + 4}{x + 2}) = \log_{3} (27)$

Paso 2

El logaritmo en base $3$ de $27$ es $3$ .

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Paso 2.1

Reescribe como una ecuación.

$\log_{3} (27) = x$

Paso 2.2

Reescribe $\log_{3} (27) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ no es igual a $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 27$

Paso 2.3

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$3^{x} = 3^{3}$

Paso 2.4

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 3$

Paso 2.5

La variable $x$ es igual a $3$ .

$\log_{3} (\frac{x + 4}{x + 2}) = 3$

Paso 3

Reescribe $\log_{3} (\frac{x + 4}{x + 2}) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{3} = \frac{x + 4}{x + 2}$

Paso 4

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x + 4 = 3^{3} (x + 2)$

Paso 5

Simplifica $3^{3} (x + 2)$ .

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Paso 5.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$x + 4 = 27 (x + 2)$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 4 = 27 x + 27 \cdot 2$

Paso 5.3

Multiplica $27$ por $2$ .

$x + 4 = 27 x + 54$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1

Resta $27 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x + 4 - 27 x = 54$

Paso 6.2

Resta $27 x$ de $x$ .

$- 26 x + 4 = 54$

Paso 7

Factoriza $2$ de $- 26 x + 4$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $- 26 x$ .

$2 (- 13 x) + 4 = 54$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (- 13 x) + 2 (2) = 54$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $2 (- 13 x) + 2 (2)$ .

$2 (- 13 x + 2) = 54$

Paso 8

Divide cada término en $2 (- 13 x + 2) = 54$ por $2$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $2 (- 13 x + 2) = 54$ por $2$ .

$\frac{2 (- 13 x + 2)}{2} = \frac{54}{2}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 13 x + 2)}{2} = \frac{54}{2}$

Paso 8.2.1.2

Divide $- 13 x + 2$ por $1$ .

$- 13 x + 2 = \frac{54}{2}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Divide $54$ por $2$ .

$- 13 x + 2 = 27$

Paso 9

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 13 x = 27 - 2$

Paso 9.2

Resta $2$ de $27$ .

$- 13 x = 25$

Paso 10

Divide cada término en $- 13 x = 25$ por $- 13$ y simplifica.

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Paso 10.1

Divide cada término en $- 13 x = 25$ por $- 13$ .

$\frac{- 13 x}{- 13} = \frac{25}{- 13}$

Paso 10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Cancela el factor común de $- 13$ .

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Paso 10.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 13 x}{- 13} = \frac{25}{- 13}$

Paso 10.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{25}{- 13}$

Paso 10.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{25}{13}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{25}{13}$

Forma decimal:

$x = - 1.\overline{923076}$

Forma de número mixto:

$x = - 1 \frac{12}{13}$