Álgebra Ejemplos

$x^{4} - 9 x^{3} + 12 x^{2} + 80 x - 192$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$12 x^{2} - 192 + x^{4} - 9 x^{3} + 80 x$

Paso 2

Factoriza $12$ de $12 x^{2} - 192$ .

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Paso 2.1

Factoriza $12$ de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 192 + x^{4} - 9 x^{3} + 80 x$

Paso 2.2

Factoriza $12$ de $- 192$ .

$12 x^{2} + 12 \cdot - 16 + x^{4} - 9 x^{3} + 80 x$

Paso 2.3

Factoriza $12$ de $12 x^{2} + 12 \cdot - 16$ .

$12 (x^{2} - 16) + x^{4} - 9 x^{3} + 80 x$

Paso 3

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$12 (x^{2} - 4^{2}) + x^{4} - 9 x^{3} + 80 x$

Paso 4

Factoriza.

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Paso 4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$12 ((x + 4) (x - 4)) + x^{4} - 9 x^{3} + 80 x$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$12 (x + 4) (x - 4) + x^{4} - 9 x^{3} + 80 x$

Paso 5

Factoriza $x$ de $x^{4} - 9 x^{3} + 80 x$ .

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Paso 5.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$12 (x + 4) (x - 4) + x \cdot x^{3} - 9 x^{3} + 80 x$

Paso 5.2

Factoriza $x$ de $- 9 x^{3}$ .

$12 (x + 4) (x - 4) + x \cdot x^{3} + x (- 9 x^{2}) + 80 x$

Paso 5.3

Factoriza $x$ de $80 x$ .

$12 (x + 4) (x - 4) + x \cdot x^{3} + x (- 9 x^{2}) + x \cdot 80$

Paso 5.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{3} + x (- 9 x^{2})$ .

$12 (x + 4) (x - 4) + x (x^{3} - 9 x^{2}) + x \cdot 80$

Paso 5.5

Factoriza $x$ de $x (x^{3} - 9 x^{2}) + x \cdot 80$ .

$12 (x + 4) (x - 4) + x (x^{3} - 9 x^{2} + 80)$

Paso 6

Factoriza.

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Paso 6.1

Factoriza $x^{3} - 9 x^{2} + 80$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 6.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 80, \pm 2, \pm 40, \pm 4, \pm 20, \pm 5, \pm 16, \pm 8, \pm 10$

$q = \pm 1$

Paso 6.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 80, \pm 2, \pm 40, \pm 4, \pm 20, \pm 5, \pm 16, \pm 8, \pm 10$

Paso 6.1.3

Sustituye $4$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $4$ es una raíz del polinomio.

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Paso 6.1.3.1

Sustituye $4$ en el polinomio.

$4^{3} - 9 \cdot 4^{2} + 80$

Paso 6.1.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$64 - 9 \cdot 4^{2} + 80$

Paso 6.1.3.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$64 - 9 \cdot 16 + 80$

Paso 6.1.3.4

Multiplica $- 9$ por $16$ .

$64 - 144 + 80$

Paso 6.1.3.5

Resta $144$ de $64$ .

$- 80 + 80$

Paso 6.1.3.6

Suma $- 80$ y $80$ .

$0$

Paso 6.1.4

Como $4$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 4$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 80}{x - 4}$

Paso 6.1.5

Divide $x^{3} - 9 x^{2} + 80$ por $x - 4$ .

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Paso 6.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$80$

Paso 6.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$

Paso 6.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Paso 6.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Paso 6.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Paso 6.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 6.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 5 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 6.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$20 x$

Paso 6.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 5 x^{2} + 20 x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$

Paso 6.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$20 x$

Paso 6.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$20 x$	+	$80$

Paso 6.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 20 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$20$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$20 x$	+	$80$

Paso 6.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$20$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$20 x$	+	$80$
							-	$20 x$	+	$80$

Paso 6.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 20 x + 80$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$20$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$20 x$	+	$80$
							+	$20 x$	-	$80$

Paso 6.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$20$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$20 x$	+	$80$
							+	$20 x$	-	$80$
										$0$

Paso 6.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 5 x - 20$

Paso 6.1.6

Escribe $x^{3} - 9 x^{2} + 80$ como un conjunto de factores.

$12 (x + 4) (x - 4) + x ((x - 4) (x^{2} - 5 x - 20))$

Paso 6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$12 (x + 4) (x - 4) + x (x - 4) (x^{2} - 5 x - 20)$

Paso 7

Factoriza $x - 4$ de $12 (x + 4) (x - 4) + x (x - 4) (x^{2} - 5 x - 20)$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x - 4$ de $12 (x + 4) (x - 4)$ .

$(x - 4) (12 (x + 4)) + x (x - 4) (x^{2} - 5 x - 20)$

Paso 7.2

Factoriza $x - 4$ de $x (x - 4) (x^{2} - 5 x - 20)$ .

$(x - 4) (12 (x + 4)) + (x - 4) (x (x^{2} - 5 x - 20))$

Paso 7.3

Factoriza $x - 4$ de $(x - 4) (12 (x + 4)) + (x - 4) (x (x^{2} - 5 x - 20))$ .

$(x - 4) (12 (x + 4) + x (x^{2} - 5 x - 20))$

Paso 8

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 4) (12 x + 12 \cdot 4 + x (x^{2} - 5 x - 20))$

Paso 9

Multiplica $12$ por $4$ .

$(x - 4) (12 x + 48 + x (x^{2} - 5 x - 20))$

Paso 10

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 4) (12 x + 48 + x \cdot x^{2} + x (- 5 x) + x \cdot - 20)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 11.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x - 4) (12 x + 48 + x^{1} x^{2} + x (- 5 x) + x \cdot - 20)$

Paso 11.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x - 4) (12 x + 48 + x^{1 + 2} + x (- 5 x) + x \cdot - 20)$

Paso 11.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$(x - 4) (12 x + 48 + x^{3} + x (- 5 x) + x \cdot - 20)$

Paso 11.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(x - 4) (12 x + 48 + x^{3} - 5 x \cdot x + x \cdot - 20)$

Paso 11.3

Mueve $- 20$ a la izquierda de $x$ .

$(x - 4) (12 x + 48 + x^{3} - 5 x \cdot x - 20 \cdot x)$

Paso 12

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1

Mueve $x$ .

$(x - 4) (12 x + 48 + x^{3} - 5 (x \cdot x) - 20 \cdot x)$

Paso 12.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x - 4) (12 x + 48 + x^{3} - 5 x^{2} - 20 \cdot x)$

$(x - 4) (12 x + 48 + x^{3} - 5 x^{2} - 20 x)$

Paso 13

Resta $20 x$ de $12 x$ .

$(x - 4) (48 + x^{3} - 5 x^{2} - 8 x)$

Paso 14

Reordena los términos.

$(x - 4) (x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 48)$

Paso 15

Factoriza.

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Paso 15.1

Reescribe $x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 48$ en forma factorizada.

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Paso 15.1.1

Factoriza $x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 48$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 15.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

$q = \pm 1$

Paso 15.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Paso 15.1.1.3

Sustituye $- 3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 15.1.1.3.1

Sustituye $- 3$ en el polinomio.

${(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} - 8 \cdot - 3 + 48$

Paso 15.1.1.3.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$- 27 - 5 {(- 3)}^{2} - 8 \cdot - 3 + 48$

Paso 15.1.1.3.3

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$- 27 - 5 \cdot 9 - 8 \cdot - 3 + 48$

Paso 15.1.1.3.4

Multiplica $- 5$ por $9$ .

$- 27 - 45 - 8 \cdot - 3 + 48$

Paso 15.1.1.3.5

Resta $45$ de $- 27$ .

$- 72 - 8 \cdot - 3 + 48$

Paso 15.1.1.3.6

Multiplica $- 8$ por $- 3$ .

$- 72 + 24 + 48$

Paso 15.1.1.3.7

Suma $- 72$ y $24$ .

$- 48 + 48$

Paso 15.1.1.3.8

Suma $- 48$ y $48$ .

$0$

Paso 15.1.1.4

Como $- 3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 48}{x + 3}$

Paso 15.1.1.5

Divide $x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 48$ por $x + 3$ .

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Paso 15.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$48$

Paso 15.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$

Paso 15.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Paso 15.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Paso 15.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Paso 15.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Paso 15.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 8 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Paso 15.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$24 x$

Paso 15.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 8 x^{2} - 24 x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Paso 15.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$

Paso 15.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	+	$48$

Paso 15.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $16 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	+	$48$

Paso 15.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	+	$48$
							+	$16 x$	+	$48$

Paso 15.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $16 x + 48$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	+	$48$
							-	$16 x$	-	$48$

Paso 15.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	+	$48$
							-	$16 x$	-	$48$
										$0$

Paso 15.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 8 x + 16$

Paso 15.1.1.6

Escribe $x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 48$ como un conjunto de factores.

$(x - 4) ((x + 3) (x^{2} - 8 x + 16))$

Paso 15.1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 15.1.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$(x - 4) ((x + 3) (x^{2} - 8 x + 4^{2}))$

Paso 15.1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Paso 15.1.2.3

Reescribe el polinomio.

$(x - 4) ((x + 3) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}))$

Paso 15.1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$(x - 4) ((x + 3) {(x - 4)}^{2})$

Paso 15.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 4) (x + 3) {(x - 4)}^{2}$

Paso 16

Multiplica $x - 4$ por ${(x - 4)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 16.1

Mueve ${(x - 4)}^{2}$ .

${(x - 4)}^{2} (x - 4) (x + 3)$

Paso 16.2

Multiplica ${(x - 4)}^{2}$ por $x - 4$ .

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Paso 16.2.1

Eleva $x - 4$ a la potencia de $1$ .

${(x - 4)}^{2} {(x - 4)}^{1} (x + 3)$

Paso 16.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x - 4)}^{2 + 1} (x + 3)$

Paso 16.3

Suma $2$ y $1$ .

${(x - 4)}^{3} (x + 3)$