Álgebra Ejemplos

$4 k^{\frac{4}{3}} - 17 k^{\frac{2}{3}} + 4 = 0$

Paso 1

Reescribe $k^{\frac{4}{3}}$ como ${(k^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

$4 {(k^{\frac{2}{3}})}^{2} - 17 k^{\frac{2}{3}} + 4 = 0$

Paso 2

Sea $u = k^{\frac{2}{3}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $k^{\frac{2}{3}}$ .

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ y cuya suma es $b = - 17$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 17$ de $- 17 u$ .

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 17$ como $- 1$ más $- 16$

$4 u^{2} + (- 1 - 16) u + 4 = 0$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 u^{2} - 1 u - 16 u + 4 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 u^{2} - 1 u) - 16 u + 4 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (4 u - 1) - 4 (4 u - 1) = 0$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 4) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $k^{\frac{2}{3}}$ .

$(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 4) = 0$

Paso 5

Reescribe $4 k^{\frac{2}{3}}$ como ${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$({(2 k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 4) = 0$

Paso 6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$({(2 k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1^{2}) (k^{\frac{2}{3}} - 4) = 0$

Paso 7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 k^{\frac{1}{3}}$ y $b = 1$ .

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 4) = 0$

Paso 8

Reescribe $k^{\frac{2}{3}}$ como ${(k^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) ({(k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4) = 0$

Paso 9

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) ({(k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 10

Factoriza.

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Paso 10.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = k^{\frac{1}{3}}$ y $b = 2$ .

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) ((k^{\frac{1}{3}} + 2) (k^{\frac{1}{3}} - 2)) = 0$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) (k^{\frac{1}{3}} + 2) (k^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 k^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$2 k^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

$k^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

$k^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Paso 12

Establece $2 k^{\frac{1}{3}} + 1$ igual a $0$ y resuelve $k$ .

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Paso 12.1

Establece $2 k^{\frac{1}{3}} + 1$ igual a $0$ .

$2 k^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Paso 12.2

Resuelve $2 k^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ en $k$ .

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Paso 12.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 k^{\frac{1}{3}} = - 1$

Paso 12.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 12.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 12.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.3.1.1

Simplifica ${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 12.2.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 k^{\frac{1}{3}}$ .

$2^{3} {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 12.2.3.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 12.2.3.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 12.2.3.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 12.2.3.1.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.2.3.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 12.2.3.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$8 k^{1} = {(- 1)}^{3}$

Paso 12.2.3.1.1.4

Simplifica.

$8 k = {(- 1)}^{3}$

Paso 12.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$8 k = - 1$

Paso 12.2.4

Divide cada término en $8 k = - 1$ por $8$ y simplifica.

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Paso 12.2.4.1

Divide cada término en $8 k = - 1$ por $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Paso 12.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.4.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 12.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Paso 12.2.4.2.1.2

Divide $k$ por $1$ .

$k = \frac{- 1}{8}$

Paso 12.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$k = - \frac{1}{8}$

Paso 13

Establece $2 k^{\frac{1}{3}} - 1$ igual a $0$ y resuelve $k$ .

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Paso 13.1

Establece $2 k^{\frac{1}{3}} - 1$ igual a $0$ .

$2 k^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

Paso 13.2

Resuelve $2 k^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$ en $k$ .

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Paso 13.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 k^{\frac{1}{3}} = 1$

Paso 13.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Paso 13.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 13.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.3.1.1

Simplifica ${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 13.2.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 k^{\frac{1}{3}}$ .

$2^{3} {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Paso 13.2.3.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Paso 13.2.3.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 13.2.3.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Paso 13.2.3.1.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.2.3.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Paso 13.2.3.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$8 k^{1} = 1^{3}$

Paso 13.2.3.1.1.4

Simplifica.

$8 k = 1^{3}$

Paso 13.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$8 k = 1$

Paso 13.2.4

Divide cada término en $8 k = 1$ por $8$ y simplifica.

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Paso 13.2.4.1

Divide cada término en $8 k = 1$ por $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Paso 13.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.4.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 13.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Paso 13.2.4.2.1.2

Divide $k$ por $1$ .

$k = \frac{1}{8}$

Paso 14

Establece $k^{\frac{1}{3}} + 2$ igual a $0$ y resuelve $k$ .

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Paso 14.1

Establece $k^{\frac{1}{3}} + 2$ igual a $0$ .

$k^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

Paso 14.2

Resuelve $k^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$ en $k$ .

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Paso 14.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$k^{\frac{1}{3}} = - 2$

Paso 14.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 2)}^{3}$

Paso 14.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 14.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.2.3.1.1

Simplifica ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 14.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 14.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Paso 14.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 14.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Paso 14.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$k^{1} = {(- 2)}^{3}$

Paso 14.2.3.1.1.2

Simplifica.

$k = {(- 2)}^{3}$

Paso 14.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.2.3.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$k = - 8$

Paso 15

Establece $k^{\frac{1}{3}} - 2$ igual a $0$ y resuelve $k$ .

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Paso 15.1

Establece $k^{\frac{1}{3}} - 2$ igual a $0$ .

$k^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Paso 15.2

Resuelve $k^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ en $k$ .

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Paso 15.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$k^{\frac{1}{3}} = 2$

Paso 15.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Paso 15.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 15.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 15.2.3.1.1

Simplifica ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 15.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 15.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Paso 15.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 15.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Paso 15.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$k^{1} = 2^{3}$

Paso 15.2.3.1.1.2

Simplifica.

$k = 2^{3}$

Paso 15.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 15.2.3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$k = 8$

Paso 16

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) (k^{\frac{1}{3}} + 2) (k^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$ verdadera.

$k = - \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, - 8, 8$