Álgebra Ejemplos

$r^{\frac{6}{5}} = 64$

Paso 1

Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$r^{\frac{6}{5}} - 64 = 0$

Paso 2

Reescribe $r^{\frac{6}{5}}$ como ${(r^{\frac{2}{5}})}^{3}$ .

${(r^{\frac{2}{5}})}^{3} - 64 = 0$

Paso 3

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

${(r^{\frac{2}{5}})}^{3} - 4^{3} = 0$

Paso 4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = r^{\frac{2}{5}}$ y $b = 4$ .

$(r^{\frac{2}{5}} - 4) ({(r^{\frac{2}{5}})}^{2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $r^{\frac{2}{5}}$ como ${(r^{\frac{1}{5}})}^{2}$ .

$({(r^{\frac{1}{5}})}^{2} - 4) ({(r^{\frac{2}{5}})}^{2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$({(r^{\frac{1}{5}})}^{2} - 2^{2}) ({(r^{\frac{2}{5}})}^{2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 5.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = r^{\frac{1}{5}}$ y $b = 2$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) ({(r^{\frac{2}{5}})}^{2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 5.4

Multiplica los exponentes en ${(r^{\frac{2}{5}})}^{2}$ .

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Paso 5.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{2}{5} \cdot 2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 5.4.2

Multiplica $\frac{2}{5} \cdot 2$ .

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Paso 5.4.2.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $2$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{2 \cdot 2}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 5.4.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 5.5

Mueve $4$ a la izquierda de $r^{\frac{2}{5}}$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{4}{5}} + 4 r^{\frac{2}{5}} + 4^{2}) = 0$

Paso 5.6

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{4}{5}} + 4 r^{\frac{2}{5}} + 16) = 0$

Paso 5.7

Reordena los términos.

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Paso 6

Simplifica $(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16)$ .

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Paso 6.1

Expande $(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(r^{\frac{1}{5}} (r^{\frac{1}{5}} - 2) + 2 (r^{\frac{1}{5}} - 2)) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + r^{\frac{1}{5}} \cdot - 2 + 2 (r^{\frac{1}{5}} - 2)) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + r^{\frac{1}{5}} \cdot - 2 + 2 r^{\frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Paso 6.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.2.1

Combina los términos opuestos en $r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + r^{\frac{1}{5}} \cdot - 2 + 2 r^{\frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2$ .

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Paso 6.2.1.1

Reordena los factores en los términos $r^{\frac{1}{5}} \cdot - 2$ y $2 r^{\frac{1}{5}}$ .

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} - 2 r^{\frac{1}{5}} + 2 r^{\frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Paso 6.2.1.2

Suma $- 2 r^{\frac{1}{5}}$ y $2 r^{\frac{1}{5}}$ .

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + 0 + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Paso 6.2.1.3

Suma $r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}}$ y $0$ .

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Paso 6.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1

Multiplica $r^{\frac{1}{5}}$ por $r^{\frac{1}{5}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(r^{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Paso 6.2.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(r^{\frac{1 + 1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Paso 6.2.2.1.3

Suma $1$ y $1$ .

$(r^{\frac{2}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$(r^{\frac{2}{5}} - 4) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Paso 6.3

Expande $(r^{\frac{2}{5}} - 4) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$r^{\frac{2}{5}} (4 r^{\frac{2}{5}}) + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Paso 6.4

Simplifica los términos.

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Paso 6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Paso 6.4.1.2

Multiplica $r^{\frac{2}{5}}$ por $r^{\frac{2}{5}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.2.1

Mueve $r^{\frac{2}{5}}$ .

$4 (r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{2}{5}}) + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Paso 6.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 r^{\frac{2}{5} + \frac{2}{5}} + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Paso 6.4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 r^{\frac{2 + 2}{5}} + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Paso 6.4.1.2.4

Suma $2$ y $2$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Paso 6.4.1.3

Multiplica $r^{\frac{2}{5}}$ por $r^{\frac{4}{5}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Paso 6.4.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2 + 4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Paso 6.4.1.3.3

Suma $2$ y $4$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Paso 6.4.1.4

Mueve $16$ a la izquierda de $r^{\frac{2}{5}}$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 16 \cdot r^{\frac{2}{5}} - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Paso 6.4.1.5

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 16 r^{\frac{2}{5}} - 16 r^{\frac{2}{5}} - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Paso 6.4.1.6

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 16 r^{\frac{2}{5}} - 16 r^{\frac{2}{5}} - 4 r^{\frac{4}{5}} - 64 = 0$

Paso 6.4.2

Combina los términos opuestos en $4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 16 r^{\frac{2}{5}} - 16 r^{\frac{2}{5}} - 4 r^{\frac{4}{5}} - 64$ .

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Paso 6.4.2.1

Resta $16 r^{\frac{2}{5}}$ de $16 r^{\frac{2}{5}}$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 0 - 4 r^{\frac{4}{5}} - 64 = 0$

Paso 6.4.2.2

Suma $4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}}$ y $0$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} - 4 r^{\frac{4}{5}} - 64 = 0$

Paso 6.4.2.3

Resta $4 r^{\frac{4}{5}}$ de $4 r^{\frac{4}{5}}$ .

$r^{\frac{6}{5}} + 0 - 64 = 0$

Paso 6.4.2.4

Suma $r^{\frac{6}{5}}$ y $0$ .

$r^{\frac{6}{5}} - 64 = 0$

Paso 7

Suma $64$ a ambos lados de la ecuación.

$r^{\frac{6}{5}} = 64$

Paso 8

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{5}{6}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(r^{\frac{6}{5}})}^{\frac{5}{6}} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Paso 9

Simplifica el exponente.

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Paso 9.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.1.1

Simplifica ${(r^{\frac{6}{5}})}^{\frac{5}{6}}$ .

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Paso 9.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(r^{\frac{6}{5}})}^{\frac{5}{6}}$ .

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Paso 9.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r^{\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6}} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Paso 9.1.1.1.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 9.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$r^{\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6}} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Paso 9.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$r^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Paso 9.1.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 9.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$r^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Paso 9.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$r^{1} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Paso 9.1.1.2

Simplifica.

$r = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Paso 9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.1

Simplifica $\pm 64^{\frac{5}{6}}$ .

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Paso 9.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.1.1.1

Reescribe $64$ como $2^{6}$ .

$r = \pm {(2^{6})}^{\frac{5}{6}}$

Paso 9.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm 2^{6 (\frac{5}{6})}$

Paso 9.2.1.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 9.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$r = \pm 2^{6 (\frac{5}{6})}$

Paso 9.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$r = \pm 2^{5}$

Paso 9.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$r = \pm 32$

Paso 10

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 10.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$r = 32$

Paso 10.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$r = - 32$

Paso 10.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$r = 32, - 32$