Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 16}{2 x + 8} \cdot \frac{x^{3} - 2 x^{2} + x}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{2 x + 8} \cdot \frac{x^{3} - 2 x^{2} + x}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x + 8} \cdot \frac{x^{3} - 2 x^{2} + x}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 2

Factoriza $2$ de $2 x + 8$ .

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 (x) + 8} \cdot \frac{x^{3} - 2 x^{2} + x}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 2.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x + 2 \cdot 4} \cdot \frac{x^{3} - 2 x^{2} + x}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 2.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 (x + 4)} \cdot \frac{x^{3} - 2 x^{2} + x}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 2 x^{2} + x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 (x + 4)} \cdot \frac{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} + x}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 3.1.2

Factoriza $x$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 (x + 4)} \cdot \frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 3.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 (x + 4)} \cdot \frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x^{1}}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 3.1.4

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 (x + 4)} \cdot \frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 3.1.5

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 (x + 4)} \cdot \frac{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 3.1.6

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 1$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 (x + 4)} \cdot \frac{x (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 3.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 (x + 4)} \cdot \frac{x (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 3.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 3.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 (x + 4)} \cdot \frac{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 3.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 (x + 4)} \cdot \frac{x {(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} + 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $3$ .

$- 1, 4$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{2 (x + 4)} \cdot \frac{x {(x - 1)}^{2}}{(x - 1) (x + 4)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combinar.

$\frac{(x + 4) (x - 4) (x {(x - 1)}^{2})}{2 (x + 4) ((x - 1) (x + 4))}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 4) (x - 4) (x {(x - 1)}^{2})}{2 (x + 4) ((x - 1) (x + 4))}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 4) (x {(x - 1)}^{2})}{2 ((x - 1) (x + 4))}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{2}$ y $x - 1$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x - 1$ de $(x - 4) (x {(x - 1)}^{2})$ .

$\frac{(x - 1) ((x - 4) (x (x - 1)))}{2 ((x - 1) (x + 4))}$

Paso 5.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $x - 1$ de $2 ((x - 1) (x + 4))$ .

$\frac{(x - 1) ((x - 4) (x (x - 1)))}{(x - 1) (2 (x + 4))}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) ((x - 4) (x (x - 1)))}{(x - 1) (2 (x + 4))}$

Paso 5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 4) (x (x - 1))}{2 (x + 4)}$

Paso 5.4

Reordena los factores en $\frac{(x - 4) x (x - 1)}{2 (x + 4)}$ .

$\frac{x (x - 4) (x - 1)}{2 (x + 4)}$