Álgebra Ejemplos

$2 \ln (2 x^{2}) = 1$

Paso 1

Simplifica $2 \ln (2 x^{2})$ .

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Paso 1.1

Simplifica $2 \ln (2 x^{2})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(2 x^{2})}^{2}) = 1$

Paso 1.2

Aplica la regla del producto a $2 x^{2}$ .

$\ln (2^{2} {(x^{2})}^{2}) = 1$

Paso 1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\ln (4 {(x^{2})}^{2}) = 1$

Paso 1.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (4 x^{2 \cdot 2}) = 1$

Paso 1.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\ln (4 x^{4}) = 1$

Paso 2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (4 x^{4})} = e^{1}$

Paso 3

Reescribe $\ln (4 x^{4}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = 4 x^{4}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $4 x^{4} = e^{1}$ .

$4 x^{4} = e$

Paso 4.2

Divide cada término en $4 x^{4} = e^{1}$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $4 x^{4} = e^{1}$ por $4$ .

$\frac{4 x^{4}}{4} = \frac{e^{1}}{4}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{4}}{4} = \frac{e^{1}}{4}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{e^{1}}{4}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica.

$x^{4} = \frac{e}{4}$

Paso 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{e}{4}}$

Paso 4.4

Simplifica $\pm \sqrt[4]{\frac{e}{4}}$ .

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Paso 4.4.1

Reescribe $\sqrt[4]{\frac{e}{4}}$ como $\frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt[4]{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt[4]{4}}$

Paso 4.4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.4.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt[4]{2^{2}}}$

Paso 4.4.2.2

Reescribe $\sqrt[4]{2^{2}}$ como $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{\sqrt{2^{2}}}}$

Paso 4.4.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{2}}$

Paso 4.4.3

Multiplica $\frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 4.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.4.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 4.4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 4.4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 4.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 4.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 4.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 4.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.5.1

Reescribe la expresión con el índice menos común de $4$ .

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Paso 4.4.5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 4.4.5.1.2

Reescribe $2^{\frac{1}{2}}$ como $2^{\frac{2}{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2}$

Paso 4.4.5.1.3

Reescribe $2^{\frac{2}{4}}$ como $\sqrt[4]{2^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt[4]{2^{2}}}{2}$

Paso 4.4.5.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e \cdot 2^{2}}}{2}$

Paso 4.4.5.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e \cdot 4}}{2}$

Paso 4.4.6

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt[4]{e \cdot 4}}{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Paso 4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Paso 4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Paso 4.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Forma decimal:

$x = 0.90794307 \dots, - 0.90794307 \dots$