Álgebra Ejemplos

$\log (4 - x) = \log (x + 8) + \log (2 x + 13)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica $\log (x + 8) + \log (2 x + 13)$ .

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Paso 1.1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (4 - x) = \log ((x + 8) (2 x + 13))$

Paso 1.1.2

Expande $(x + 8) (2 x + 13)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (4 - x) = \log (x (2 x + 13) + 8 (2 x + 13))$

Paso 1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (4 - x) = \log (x (2 x) + x \cdot 13 + 8 (2 x + 13))$

Paso 1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (4 - x) = \log (x (2 x) + x \cdot 13 + 8 (2 x) + 8 \cdot 13)$

Paso 1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\log (4 - x) = \log (2 x \cdot x + x \cdot 13 + 8 (2 x) + 8 \cdot 13)$

Paso 1.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\log (4 - x) = \log (2 (x \cdot x) + x \cdot 13 + 8 (2 x) + 8 \cdot 13)$

Paso 1.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (4 - x) = \log (2 x^{2} + x \cdot 13 + 8 (2 x) + 8 \cdot 13)$

Paso 1.1.3.1.3

Mueve $13$ a la izquierda de $x$ .

$\log (4 - x) = \log (2 x^{2} + 13 \cdot x + 8 (2 x) + 8 \cdot 13)$

Paso 1.1.3.1.4

Multiplica $2$ por $8$ .

$\log (4 - x) = \log (2 x^{2} + 13 x + 16 x + 8 \cdot 13)$

Paso 1.1.3.1.5

Multiplica $8$ por $13$ .

$\log (4 - x) = \log (2 x^{2} + 13 x + 16 x + 104)$

Paso 1.1.3.2

Suma $13 x$ y $16 x$ .

$\log (4 - x) = \log (2 x^{2} + 29 x + 104)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$4 - x = 2 x^{2} + 29 x + 104$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$2 x^{2} + 29 x + 104 = 4 - x$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} + 29 x + 104 + x = 4$

Paso 3.2.2

Suma $29 x$ y $x$ .

$2 x^{2} + 30 x + 104 = 4$

Paso 3.3

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} + 30 x + 104 - 4 = 0$

Paso 3.4

Resta $4$ de $104$ .

$2 x^{2} + 30 x + 100 = 0$

Paso 3.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 30 x + 100$ .

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Paso 3.5.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 30 x + 100 = 0$

Paso 3.5.1.2

Factoriza $2$ de $30 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (15 x) + 100 = 0$

Paso 3.5.1.3

Factoriza $2$ de $100$ .

$2 x^{2} + 2 (15 x) + 2 \cdot 50 = 0$

Paso 3.5.1.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (15 x)$ .

$2 (x^{2} + 15 x) + 2 \cdot 50 = 0$

Paso 3.5.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} + 15 x) + 2 \cdot 50$ .

$2 (x^{2} + 15 x + 50) = 0$

Paso 3.5.2

Factoriza.

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 15 x + 50$ con el método AC.

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Paso 3.5.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $50$ y cuya suma es $15$ .

$5, 10$

Paso 3.5.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((x + 5) (x + 10)) = 0$

Paso 3.5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x + 5) (x + 10) = 0$

Paso 3.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 10 = 0$

Paso 3.7

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.7.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 3.7.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 3.8

Establece $x + 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.8.1

Establece $x + 10$ igual a $0$ .

$x + 10 = 0$

Paso 3.8.2

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 10$

Paso 3.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x + 5) (x + 10) = 0$ verdadera.

$x = - 5, - 10$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (4 - x) = \log (x + 8) + \log (2 x + 13)$ sea verdadera.

$x = - 5$