Álgebra Ejemplos

$\frac{3}{x^{2} + 5 x + 6} + \frac{x - 1}{x + 2} = \frac{7}{x + 3}$

Paso 1

Resta $\frac{7}{x + 3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{3}{x^{2} + 5 x + 6} + \frac{x - 1}{x + 2} - \frac{7}{x + 3} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{3}{x^{2} + 5 x + 6} + \frac{x - 1}{x + 2} - \frac{7}{x + 3}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2} + 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $5$ .

$2, 3$

Paso 2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 1}{x + 2} - \frac{7}{x + 3} = 0$

Paso 2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{x - 1}{x + 2}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{3}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{7}{x + 3} = 0$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{x - 1}{x + 2}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{3}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} - \frac{7}{x + 3} = 0$

Paso 2.2.3

Multiplica $\frac{7}{x + 3}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{3}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} - (\frac{7}{x + 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}) = 0$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{7}{x + 3}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{3}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} - \frac{7 (x + 2)}{(x + 3) (x + 2)} = 0$

Paso 2.2.5

Reordena los factores de $(x + 3) (x + 2)$ .

$\frac{3}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} - \frac{7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 + (x - 1) (x + 3) - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1

Expande $(x - 1) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 + x (x + 3) - 1 (x + 3) - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 1 (x + 3) - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3 + x^{2} + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.2.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 + x^{2} + 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 3 - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{3 + x^{2} + 3 x - x - 1 \cdot 3 - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 + x^{2} + 3 x - x - 3 - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.2.2

Resta $x$ de $3 x$ .

$\frac{3 + x^{2} + 2 x - 3 - 7 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 + x^{2} + 2 x - 3 - 7 x - 7 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.4

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$\frac{3 + x^{2} + 2 x - 3 - 7 x - 14}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 2.5

Combina los términos opuestos en $3 + x^{2} + 2 x - 3 - 7 x - 14$ .

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Paso 2.5.1

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 0 - 7 x - 14}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 2.5.2

Suma $x^{2} + 2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 7 x - 14}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 2.6

Resta $7 x$ de $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 14}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 2.7

Factoriza $x^{2} - 5 x - 14$ con el método AC.

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Paso 2.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 14$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 7, 2$

Paso 2.7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 7) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 2.8

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 2.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 7) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3)} = 0$

Paso 2.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 7}{x + 3} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$x - 7 = 0$

Paso 4

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$