Álgebra Ejemplos

$\frac{4 (x - 2)}{x - 3} + \frac{3}{x} = \frac{- 3}{x (x - 3)}$

Paso 1

Resta $\frac{- 3}{x (x - 3)}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{4 (x - 2)}{x - 3} + \frac{3}{x} - \frac{- 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{4 (x - 2)}{x - 3} + \frac{3}{x} - \frac{- 3}{x (x - 3)}$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4 (x - 2)}{x - 3} + \frac{3}{x} - - \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.1.2

Multiplica $- - \frac{3}{x (x - 3)}$ .

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Paso 2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4 (x - 2)}{x - 3} + \frac{3}{x} + 1 \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.1.2.2

Multiplica $\frac{3}{x (x - 3)}$ por $1$ .

$\frac{4 (x - 2)}{x - 3} + \frac{3}{x} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{4 (x - 2)}{x - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (x - 2)}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} + \frac{3}{x} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.3

Para escribir $\frac{3}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{4 (x - 2)}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} + \frac{3}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 3) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{4 (x - 2)}{x - 3}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (x - 2) x}{(x - 3) x} + \frac{3}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{3}{x}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{4 (x - 2) x}{(x - 3) x} + \frac{3 (x - 3)}{x (x - 3)} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(x - 3) x$ .

$\frac{4 (x - 2) x}{x (x - 3)} + \frac{3 (x - 3)}{x (x - 3)} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 (x - 2) x + 3 (x - 3)}{x (x - 3)} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 x + 4 \cdot - 2) x + 3 (x - 3)}{x (x - 3)} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.6.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{(4 x - 8) x + 3 (x - 3)}{x (x - 3)} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x \cdot x - 8 x + 3 (x - 3)}{x (x - 3)} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.6.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) - 8 x + 3 (x - 3)}{x (x - 3)} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.6.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 3 (x - 3)}{x (x - 3)} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{x (x - 3)} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.6.6

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 3 x - 9}{x (x - 3)} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.6.7

Suma $- 8 x$ y $3 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 5 x - 9}{x (x - 3)} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.6.8

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.6.8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 2.6.8.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 5 (x) - 9}{x (x - 3)} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.6.8.1.2

Reescribe $- 5$ como $4$ más $- 9$

$\frac{4 x^{2} + (4 - 9) x - 9}{x (x - 3)} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.6.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 4 x - 9 x - 9}{x (x - 3)} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.6.8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.6.8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(4 x^{2} + 4 x) - 9 x - 9}{x (x - 3)} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.6.8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{4 x (x + 1) - 9 (x + 1)}{x (x - 3)} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.6.8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (4 x - 9)}{x (x - 3)} + \frac{3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 1) (4 x - 9) + 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1

Expande $(x + 1) (4 x - 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (4 x - 9) + 1 (4 x - 9) + 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.8.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (4 x) + x \cdot - 9 + 1 (4 x - 9) + 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (4 x) + x \cdot - 9 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 9 + 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.8.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 x \cdot x + x \cdot - 9 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 9 + 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.8.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.8.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + x \cdot - 9 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 9 + 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.8.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x \cdot - 9 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 9 + 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.8.2.1.3

Mueve $- 9$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 9 \cdot x + 1 (4 x) + 1 \cdot - 9 + 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.8.2.1.4

Multiplica $4 x$ por $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 9 x + 4 x + 1 \cdot - 9 + 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.8.2.1.5

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 9 x + 4 x - 9 + 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.8.2.2

Suma $- 9 x$ y $4 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 5 x - 9 + 3}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.8.3

Suma $- 9$ y $3$ .

$\frac{4 x^{2} - 5 x - 6}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.8.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.8.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 6 = - 24$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 2.8.4.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 5 (x) - 6}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.8.4.1.2

Reescribe $- 5$ como $3$ más $- 8$

$\frac{4 x^{2} + (3 - 8) x - 6}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.8.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 3 x - 8 x - 6}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.8.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.8.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(4 x^{2} + 3 x) - 8 x - 6}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.8.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (4 x + 3) - 2 (4 x + 3)}{x (x - 3)} = 0$

Paso 2.8.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x + 3$ .

$\frac{(4 x + 3) (x - 2)}{x (x - 3)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$(4 x + 3) (x - 2) = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 4.2

Establece $4 x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.1

Establece $4 x + 3$ igual a $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Paso 4.2.2

Resuelve $4 x + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 3$

Paso 4.2.2.2

Divide cada término en $4 x = - 3$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.2.1

Divide cada término en $4 x = - 3$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Paso 4.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Paso 4.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Paso 4.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{4}$

Paso 4.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 x + 3) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{3}{4}, 2$