Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{8} x^{3} - \frac{1}{27} y^{3}$

Paso 1

Reescribe $\frac{1}{8} x^{3}$ como ${(\frac{1}{2} x)}^{3}$ .

${(\frac{1}{2} x)}^{3} - \frac{1}{27} y^{3}$

Paso 2

Reescribe $\frac{1}{27} y^{3}$ como ${(\frac{1}{3} y)}^{3}$ .

${(\frac{1}{2} x)}^{3} - {(\frac{1}{3} y)}^{3}$

Paso 3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = \frac{1}{2} x$ y $b = \frac{1}{3} y$ .

$(\frac{1}{2} x - (\frac{1}{3} y)) ({(\frac{1}{2} x)}^{2} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{3} y) + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$(\frac{x}{2} - (\frac{1}{3} y)) ({(\frac{1}{2} x)}^{2} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{3} y) + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Paso 4.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $y$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) ({(\frac{1}{2} x)}^{2} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{3} y) + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Paso 4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) ({(\frac{x}{2})}^{2} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{3} y) + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Paso 4.4

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{2}$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{3} y) + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Paso 4.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{3} y) + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Paso 4.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x y + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Paso 4.7

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 4.7.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 3} x y + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Paso 4.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{6} x y + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Paso 4.8

Combina $\frac{1}{6}$ y $x$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{6} y + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Paso 4.9

Combina $\frac{x}{6}$ y $y$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{x y}{6} + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Paso 4.10

Combina $\frac{1}{3}$ y $y$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{x y}{6} + {(\frac{y}{3})}^{2})$

Paso 4.11

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{3}$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{x y}{6} + \frac{y^{2}}{3^{2}})$

Paso 4.12

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{x y}{6} + \frac{y^{2}}{9})$

Paso 4.13

Factoriza.

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Paso 4.13.1

Factoriza $\frac{1}{36}$ de cada término.

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{1}{36} (9 x^{2} + 6 x y + 4 y^{2}))$

Paso 4.13.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) \frac{1}{36} (9 x^{2} + 6 x y + 4 y^{2})$