Álgebra Ejemplos

$\frac{x + 1}{x + 8} = \frac{x^{2} - 66 x}{x^{2} + 6 x - 16} - \frac{x - 8}{x - 2}$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $\frac{x^{2} - 66 x}{x^{2} + 6 x - 16}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x + 1}{x + 8} - \frac{x^{2} - 66 x}{x^{2} + 6 x - 16} = - \frac{x - 8}{x - 2}$

Paso 1.2

Suma $\frac{x - 8}{x - 2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{x + 1}{x + 8} - \frac{x^{2} - 66 x}{x^{2} + 6 x - 16} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x + 1}{x + 8} - \frac{x^{2} - 66 x}{x^{2} + 6 x - 16} + \frac{x - 8}{x - 2}$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - 66 x$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x + 8} - \frac{x \cdot x - 66 x}{x^{2} + 6 x - 16} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.1.1.2

Factoriza $x$ de $- 66 x$ .

$\frac{x + 1}{x + 8} - \frac{x \cdot x + x \cdot - 66}{x^{2} + 6 x - 16} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 66$ .

$\frac{x + 1}{x + 8} - \frac{x (x - 66)}{x^{2} + 6 x - 16} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x^{2} + 6 x - 16$ con el método AC.

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Paso 2.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 16$ y cuya suma es $6$ .

$- 2, 8$

Paso 2.1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 1}{x + 8} - \frac{x (x - 66)}{(x - 2) (x + 8)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{x + 1}{x + 8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 1}{x + 8} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x (x - 66)}{(x - 2) (x + 8)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 8) (x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{x + 1}{x + 8}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 8) (x - 2)} - \frac{x (x - 66)}{(x - 2) (x + 8)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.3.2

Reordena los factores de $(x - 2) (x + 8)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 8) (x - 2)} - \frac{x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 1) (x - 2) - x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Expande $(x + 1) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 2) + 1 (x - 2) - x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (x - 2) - x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 - x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.5.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 - x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.5.2.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 2 - x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.5.2.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + x + 1 \cdot - 2 - x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.5.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + x - 2 - x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.5.2.2

Suma $- 2 x$ y $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 - x (x - 66)}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - x - 2 - x \cdot x - x \cdot - 66}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.5.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 - (x \cdot x) - x \cdot - 66}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.5.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 - x^{2} - x \cdot - 66}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.5.5

Multiplica $- 66$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 - x^{2} + 66 x}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.5.6

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x - 2 + 0 + 66 x}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.5.7

Suma $- x$ y $0$ .

$\frac{- x - 2 + 66 x}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.5.8

Suma $- x$ y $66 x$ .

$\frac{65 x - 2}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} = 0$

Paso 2.6

Para escribir $\frac{x - 8}{x - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 8}{x + 8}$ .

$\frac{65 x - 2}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{x - 8}{x - 2} \cdot \frac{x + 8}{x + 8} = 0$

Paso 2.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 8) (x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.7.1

Multiplica $\frac{x - 8}{x - 2}$ por $\frac{x + 8}{x + 8}$ .

$\frac{65 x - 2}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{(x - 8) (x + 8)}{(x - 2) (x + 8)} = 0$

Paso 2.7.2

Reordena los factores de $(x - 2) (x + 8)$ .

$\frac{65 x - 2}{(x + 8) (x - 2)} + \frac{(x - 8) (x + 8)}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{65 x - 2 + (x - 8) (x + 8)}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Expande $(x - 8) (x + 8)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.9.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{65 x - 2 + x (x + 8) - 8 (x + 8)}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Paso 2.9.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{65 x - 2 + x \cdot x + x \cdot 8 - 8 (x + 8)}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Paso 2.9.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{65 x - 2 + x \cdot x + x \cdot 8 - 8 x - 8 \cdot 8}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Paso 2.9.2

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot 8 - 8 x - 8 \cdot 8$ .

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Paso 2.9.2.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot 8$ y $- 8 x$ .

$\frac{65 x - 2 + x \cdot x + 8 x - 8 x - 8 \cdot 8}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Paso 2.9.2.2

Resta $8 x$ de $8 x$ .

$\frac{65 x - 2 + x \cdot x + 0 - 8 \cdot 8}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Paso 2.9.2.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\frac{65 x - 2 + x \cdot x - 8 \cdot 8}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Paso 2.9.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.9.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{65 x - 2 + x^{2} - 8 \cdot 8}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Paso 2.9.3.2

Multiplica $- 8$ por $8$ .

$\frac{65 x - 2 + x^{2} - 64}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Paso 2.9.4

Resta $64$ de $- 2$ .

$\frac{65 x + x^{2} - 66}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Paso 2.9.5

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} + 65 x - 66}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Paso 2.9.6

Factoriza $x^{2} + 65 x - 66$ con el método AC.

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Paso 2.9.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 66$ y cuya suma es $65$ .

$- 1, 66$

Paso 2.9.6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 1) (x + 66)}{(x + 8) (x - 2)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$(x - 1) (x + 66) = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 66 = 0$

Paso 4.2

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 4.3

Establece $x + 66$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.1

Establece $x + 66$ igual a $0$ .

$x + 66 = 0$

Paso 4.3.2

Resta $66$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 66$

Paso 4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x + 66) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 66$