Álgebra Ejemplos

$\ln (x + 5) = \ln (x - 1) - \ln (x + 1)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x + 5) = \ln (\frac{x - 1}{x + 1})$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x + 5 = \frac{x - 1}{x + 1}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{x - 1}{x + 1} - 5$

Paso 3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1

Divide la fracción $\frac{x - 1}{x + 1}$ en dos fracciones.

$x = \frac{x}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1} - 5$

Paso 3.1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - 5$

Paso 3.1.3

Obtén el denominador común

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Paso 3.1.3.1

Escribe $- 5$ como una fracción con el denominador $1$ .

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5}{1}$

Paso 3.1.3.2

Multiplica $\frac{- 5}{1}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $\frac{- 5}{1}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5 (x + 1)}{x + 1}$

Paso 3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{x - 1 - 5 (x + 1)}{x + 1}$

Paso 3.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{x - 1 - 5 x - 5 \cdot 1}{x + 1}$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$x = \frac{x - 1 - 5 x - 5}{x + 1}$

Paso 3.1.6

Resta $5 x$ de $x$ .

$x = \frac{- 4 x - 1 - 5}{x + 1}$

Paso 3.1.7

Resta $5$ de $- 1$ .

$x = \frac{- 4 x - 6}{x + 1}$

Paso 3.1.8

Factoriza $2$ de $- 4 x - 6$ .

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Paso 3.1.8.1

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$x = \frac{2 (- 2 x) - 6}{x + 1}$

Paso 3.1.8.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$x = \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 3)}{x + 1}$

Paso 3.1.8.3

Factoriza $2$ de $2 (- 2 x) + 2 (- 3)$ .

$x = \frac{2 (- 2 x - 3)}{x + 1}$

Paso 3.1.9

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$x = \frac{2 (- (2 x) - 3)}{x + 1}$

Paso 3.1.10

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{2 (- (2 x) - 1 (3))}{x + 1}$

Paso 3.1.11

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (3)$ .

$x = \frac{2 (- (2 x + 3))}{x + 1}$

Paso 3.1.12

Reescribe $- (2 x + 3)$ como $- 1 (2 x + 3)$ .

$x = \frac{2 (- 1 (2 x + 3))}{x + 1}$

Paso 3.1.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x + 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$1, x + 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x + 1$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ por $x + 1$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ por $x + 1$ .

$x (x + 1) = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 1 = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Paso 3.3.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Paso 3.3.2.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} + x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ al numerador.

$x^{2} + x = \frac{- 2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + x = \frac{- 2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Paso 3.3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + x = - 2 (2 x + 3)$

Paso 3.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x = - 2 (2 x) - 2 \cdot 3$

Paso 3.3.3.3

Multiplica.

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Paso 3.3.3.3.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x^{2} + x = - 4 x - 2 \cdot 3$

Paso 3.3.3.3.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$x^{2} + x = - 4 x - 6$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.4.1.1

Suma $4 x$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x + 4 x = - 6$

Paso 3.4.1.2

Suma $x$ y $4 x$ .

$x^{2} + 5 x = - 6$

Paso 3.4.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 5 x + 6 = 0$

Paso 3.4.3

Factoriza $x^{2} + 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 3.4.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $5$ .

$2, 3$

Paso 3.4.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 2) (x + 3) = 0$

Paso 3.4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 3.4.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 3.4.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 3.4.6

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.6.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.4.6.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3.4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = - 2, - 3$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x + 5) = \ln (x - 1) - \ln (x + 1)$ sea verdadera.

$No hay solución$