Álgebra Ejemplos

$3 x^{4} - 2 x^{2} - 1 = 0$

Paso 1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$3 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 1 = 0$

Paso 2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$3 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 u$ .

$3 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 2$ como $1$ más $- 3$

$3 u^{2} + (1 - 3) u - 1 = 0$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 u^{2} + 1 u - 3 u - 1 = 0$

Paso 3.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$3 u^{2} + u - 3 u - 1 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 u^{2} + u) - 3 u - 1 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (3 u + 1) - (3 u + 1) = 0$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u - 1) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1) = 0$

Paso 5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 6

Factoriza.

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Paso 6.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(3 x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 8

Establece $3 x^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $3 x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $3 x^{2} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = - 1$

Paso 8.2.2

Divide cada término en $3 x^{2} = - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Divide cada término en $3 x^{2} = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 8.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Paso 8.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Paso 8.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Paso 8.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

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Paso 8.2.4.1

Reescribe $- \frac{1}{3}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

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Paso 8.2.4.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Paso 8.2.4.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Paso 8.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Paso 8.2.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 8.2.4.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.2.4.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 8.2.4.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 8.2.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.2.4.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 8.2.4.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 8.2.4.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 8.2.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 8.2.4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 8.2.4.7.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.2.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.2.4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.2.4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.2.4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.2.4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 8.2.4.7.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 8.2.4.8

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 8.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 8.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 8.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 8.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 9

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 9.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 10

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 10.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, - 1, 1$