Álgebra Ejemplos

$3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} = 48$

Paso 1

Resta $48$ de ambos lados de la ecuación.

$3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} - 48 = 0$

Paso 2

Factoriza $3$ de $3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} - 48$ .

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Paso 2.1

Factoriza $3$ de $3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$3 ({(x + 1)}^{\frac{4}{3}}) - 48 = 0$

Paso 2.2

Factoriza $3$ de $- 48$ .

$3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} + 3 \cdot - 16 = 0$

Paso 2.3

Factoriza $3$ de $3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} + 3 \cdot - 16$ .

$3 ({(x + 1)}^{\frac{4}{3}} - 16) = 0$

Paso 3

Reescribe ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ como ${({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

$3 ({({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}^{2} - 16) = 0$

Paso 4

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$3 ({({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}^{2} - 4^{2}) = 0$

Paso 5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ y $b = 4$ .

$3 (({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} - 4)) = 0$

Paso 6

Factoriza.

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Paso 6.1

Simplifica.

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Paso 6.1.1

Reescribe ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ como ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$3 (({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4)) = 0$

Paso 6.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$3 (({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 2^{2})) = 0$

Paso 6.1.3

Factoriza.

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Paso 6.1.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ y $b = 2$ .

$3 (({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) (({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2))) = 0$

Paso 6.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 (({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2)) = 0$

Paso 6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Paso 8

Establece ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4$ igual a $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4 = 0$

Paso 8.2

Resuelve ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

${(x + 1)}^{\frac{2}{3}} = - 4$

Paso 8.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.3.1

Simplifica ${({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 8.2.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 8.2.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.2.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 1)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.2.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.2.3.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.2.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

${(x + 1)}^{1} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.2.3.1.2

Simplifica.

$x + 1 = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 8.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x + 1 = {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.2.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 1$

Paso 8.2.4.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x + 1 = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.2.4.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 1$

Paso 8.2.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 1, - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 1$

Paso 9

Establece ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2$ igual a $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

Paso 9.2

Resuelve ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 9.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - 2$

Paso 9.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 2)}^{3}$

Paso 9.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 9.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.3.1.1

Simplifica ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 9.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 9.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Paso 9.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Paso 9.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 1)}^{1} = {(- 2)}^{3}$

Paso 9.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x + 1 = {(- 2)}^{3}$

Paso 9.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$x + 1 = - 8$

Paso 9.2.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.2.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 8 - 1$

Paso 9.2.4.2

Resta $1$ de $- 8$ .

$x = - 9$

Paso 10

Establece ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ igual a $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Paso 10.2

Resuelve ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$

Paso 10.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Paso 10.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 10.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.3.1.1

Simplifica ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 10.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 10.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Paso 10.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Paso 10.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 1)}^{1} = 2^{3}$

Paso 10.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x + 1 = 2^{3}$

Paso 10.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$x + 1 = 8$

Paso 10.2.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.2.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 8 - 1$

Paso 10.2.4.2

Resta $1$ de $8$ .

$x = 7$

Paso 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$ verdadera.

$x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 1, - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 1, - 9, 7$

Paso 12

Excluye las soluciones que no hagan que $3 ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$ sea verdadera.

$x = - 9, 7$