Álgebra Ejemplos

$\frac{\frac{x^{2} - 16}{x^{2} + 5 x + 6}}{\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x^{2} - 2 x - 8}}$

Paso 1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{x^{2} - 16}{x^{2} + 5 x + 6} \cdot \frac{x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} + 5 x + 4}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{2} + 5 x + 6} \cdot \frac{x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} + 5 x + 4}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} + 5 x + 6} \cdot \frac{x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} + 5 x + 4}$

Paso 3

Factoriza $x^{2} + 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $5$ .

$2, 3$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} + 5 x + 4}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} - 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 2)}{x^{2} + 5 x + 4}$

Paso 5

Factoriza $x^{2} + 5 x + 4$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $5$ .

$1, 4$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 2)}{(x + 1) (x + 4)}$

Paso 6

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x + 4$ de $(x + 1) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 2)}{(x + 4) (x + 1)}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 2)}{(x + 4) (x + 1)}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 4) (x + 2)}{x + 1}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x + 2$ de $(x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 4)}{x + 1}$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 4)}{x + 1}$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 4}{x + 3} \cdot \frac{x - 4}{x + 1}$

Paso 8

Multiplica $\frac{x - 4}{x + 3}$ por $\frac{x - 4}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 4)}{(x + 3) (x + 1)}$

Paso 9

Eleva $x - 4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x - 4)}^{1} (x - 4)}{(x + 3) (x + 1)}$

Paso 10

Eleva $x - 4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{1}}{(x + 3) (x + 1)}$

Paso 11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x - 4)}^{1 + 1}}{(x + 3) (x + 1)}$

Paso 12

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{(x + 3) (x + 1)}$