Álgebra Ejemplos

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$

Paso 1

Factoriza $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 2.5, \pm 1.\overline{6}$

Paso 1.3

Sustituye $0.5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $0.5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.1

Sustituye $0.5$ en el polinomio.

$6 \cdot {0.5}^{3} + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Paso 1.3.2

Eleva $0.5$ a la potencia de $3$ .

$6 \cdot 0.125 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Paso 1.3.3

Multiplica $6$ por $0.125$ .

$0.75 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Paso 1.3.4

Eleva $0.5$ a la potencia de $2$ .

$0.75 + 25 \cdot 0.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Paso 1.3.5

Multiplica $25$ por $0.25$ .

$0.75 + 6.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Paso 1.3.6

Suma $0.75$ y $6.25$ .

$7 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Paso 1.3.7

Multiplica $- 24$ por $0.5$ .

$7 - 12 + 5$

Paso 1.3.8

Resta $12$ de $7$ .

$- 5 + 5$

Paso 1.3.9

Suma $- 5$ y $5$ .

$0$

Paso 1.4

Como $0.5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $2 x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5}{2 x - 1}$

Paso 1.5

Divide $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ por $2 x - 1$ .

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Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$6 x^{3}$

$25 x^{2}$

$24 x$

$5$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $6 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$3 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			+	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $6 x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $28 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$28 x^{2}$	-	$14 x$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $28 x^{2} - 14 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 10 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							-	$10 x$	+	$5$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 10 x + 5$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$
										$0$

Paso 1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$3 x^{2} + 14 x - 5$

Paso 1.6

Escribe $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ como un conjunto de factores.

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 x - 5)$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ y cuya suma es $b = 14$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $14$ de $14 x$ .

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 (x) - 5)$

Paso 2.1.1.2

Reescribe $14$ como $- 1$ más $15$

$(2 x - 1) (3 x^{2} + (- 1 + 15) x - 5)$

Paso 2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x - 1) (3 x^{2} - 1 x + 15 x - 5)$

Paso 2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x - 1) ((3 x^{2} - 1 x) + 15 x - 5)$

Paso 2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(2 x - 1) (x (3 x - 1) + 5 (3 x - 1))$

Paso 2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 1$ .

$(2 x - 1) ((3 x - 1) (x + 5))$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x - 1) (3 x - 1) (x + 5)$