Álgebra Ejemplos

$\frac{y + 1}{y + 6} - \frac{y}{y^{2} - 36} = \frac{y - 3}{y - 6}$

Paso 1

Resta $\frac{y - 3}{y - 6}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y + 1}{y + 6} - \frac{y}{y^{2} - 36} - \frac{y - 3}{y - 6} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{y + 1}{y + 6} - \frac{y}{y^{2} - 36} - \frac{y - 3}{y - 6}$ .

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Paso 2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y + 6} - \frac{y}{y^{2} - 6^{2}} - \frac{y - 3}{y - 6} = 0$

Paso 2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 6$ .

$\frac{y + 1}{y + 6} - \frac{y}{(y + 6) (y - 6)} - \frac{y - 3}{y - 6} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{y + 1}{y + 6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y - 6}{y - 6}$ .

$\frac{y + 1}{y + 6} \cdot \frac{y - 6}{y - 6} - \frac{y}{(y + 6) (y - 6)} - \frac{y - 3}{y - 6} = 0$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{y + 1}{y + 6}$ por $\frac{y - 6}{y - 6}$ .

$\frac{(y + 1) (y - 6)}{(y + 6) (y - 6)} - \frac{y}{(y + 6) (y - 6)} - \frac{y - 3}{y - 6} = 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(y + 1) (y - 6) - y}{(y + 6) (y - 6)} - \frac{y - 3}{y - 6} = 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Expande $(y + 1) (y - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y (y - 6) + 1 (y - 6) - y}{(y + 6) (y - 6)} - \frac{y - 3}{y - 6} = 0$

Paso 2.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 6 + 1 (y - 6) - y}{(y + 6) (y - 6)} - \frac{y - 3}{y - 6} = 0$

Paso 2.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 6 + 1 y + 1 \cdot - 6 - y}{(y + 6) (y - 6)} - \frac{y - 3}{y - 6} = 0$

Paso 2.5.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} + y \cdot - 6 + 1 y + 1 \cdot - 6 - y}{(y + 6) (y - 6)} - \frac{y - 3}{y - 6} = 0$

Paso 2.5.2.1.2

Mueve $- 6$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{y^{2} - 6 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 6 - y}{(y + 6) (y - 6)} - \frac{y - 3}{y - 6} = 0$

Paso 2.5.2.1.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - 6 y + y + 1 \cdot - 6 - y}{(y + 6) (y - 6)} - \frac{y - 3}{y - 6} = 0$

Paso 2.5.2.1.4

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - 6 y + y - 6 - y}{(y + 6) (y - 6)} - \frac{y - 3}{y - 6} = 0$

Paso 2.5.2.2

Suma $- 6 y$ y $y$ .

$\frac{y^{2} - 5 y - 6 - y}{(y + 6) (y - 6)} - \frac{y - 3}{y - 6} = 0$

Paso 2.5.3

Resta $y$ de $- 5 y$ .

$\frac{y^{2} - 6 y - 6}{(y + 6) (y - 6)} - \frac{y - 3}{y - 6} = 0$

Paso 2.6

Para escribir $- \frac{y - 3}{y - 6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y + 6}{y + 6}$ .

$\frac{y^{2} - 6 y - 6}{(y + 6) (y - 6)} - \frac{y - 3}{y - 6} \cdot \frac{y + 6}{y + 6} = 0$

Paso 2.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $(y + 6) (y - 6)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.7.1

Multiplica $\frac{y - 3}{y - 6}$ por $\frac{y + 6}{y + 6}$ .

$\frac{y^{2} - 6 y - 6}{(y + 6) (y - 6)} - \frac{(y - 3) (y + 6)}{(y - 6) (y + 6)} = 0$

Paso 2.7.2

Reordena los factores de $(y - 6) (y + 6)$ .

$\frac{y^{2} - 6 y - 6}{(y + 6) (y - 6)} - \frac{(y - 3) (y + 6)}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{2} - 6 y - 6 - (y - 3) (y + 6)}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - 6 y - 6 + (- y - - 3) (y + 6)}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.9.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{y^{2} - 6 y - 6 + (- y + 3) (y + 6)}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.9.3

Expande $(- y + 3) (y + 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.9.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - 6 y - 6 - y (y + 6) + 3 (y + 6)}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.9.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - 6 y - 6 - y \cdot y - y \cdot 6 + 3 (y + 6)}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.9.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - 6 y - 6 - y \cdot y - y \cdot 6 + 3 y + 3 \cdot 6}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.9.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.9.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.9.4.1.1

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.9.4.1.1.1

Mueve $y$ .

$\frac{y^{2} - 6 y - 6 - (y \cdot y) - y \cdot 6 + 3 y + 3 \cdot 6}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.9.4.1.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} - 6 y - 6 - y^{2} - y \cdot 6 + 3 y + 3 \cdot 6}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.9.4.1.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 6 y - 6 - y^{2} - 6 y + 3 y + 3 \cdot 6}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.9.4.1.3

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{y^{2} - 6 y - 6 - y^{2} - 6 y + 3 y + 18}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.9.4.2

Suma $- 6 y$ y $3 y$ .

$\frac{y^{2} - 6 y - 6 - y^{2} - 3 y + 18}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.9.5

Resta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- 6 y - 6 + 0 - 3 y + 18}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.9.6

Suma $- 6 y$ y $0$ .

$\frac{- 6 y - 6 - 3 y + 18}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.9.7

Resta $3 y$ de $- 6 y$ .

$\frac{- 9 y - 6 + 18}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.9.8

Suma $- 6$ y $18$ .

$\frac{- 9 y + 12}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.9.9

Factoriza $3$ de $- 9 y + 12$ .

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Paso 2.9.9.1

Factoriza $3$ de $- 9 y$ .

$\frac{3 (- 3 y) + 12}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.9.9.2

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{3 (- 3 y) + 3 (4)}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.9.9.3

Factoriza $3$ de $3 (- 3 y) + 3 (4)$ .

$\frac{3 (- 3 y + 4)}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.10

Factoriza $- 1$ de $- 3 y$ .

$\frac{3 (- (3 y) + 4)}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.11

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{3 (- (3 y) - 1 (- 4))}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.12

Factoriza $- 1$ de $- (3 y) - 1 (- 4)$ .

$\frac{3 (- (3 y - 4))}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.13

Reescribe $- (3 y - 4)$ como $- 1 (3 y - 4)$ .

$\frac{3 (- 1 (3 y - 4))}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 (3 y - 4)}{(y + 6) (y - 6)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$3 (3 y - 4) = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 4.1

Divide cada término en $3 (3 y - 4) = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.1.1

Divide cada término en $3 (3 y - 4) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (3 y - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 4.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (3 y - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 4.1.2.1.2

Divide $3 y - 4$ por $1$ .

$3 y - 4 = \frac{0}{3}$

Paso 4.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$3 y - 4 = 0$

Paso 4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = 4$

Paso 4.3

Divide cada término en $3 y = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $3 y = 4$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 4.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{4}{3}$