Álgebra Ejemplos

$3 + {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} = 11$

Paso 1

Resta $11$ de ambos lados de la ecuación.

$3 + {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 11 = 0$

Paso 2

Resta $11$ de $3$ .

$- 8 + {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} = 0$

Paso 3

Reescribe $- 8$ como ${(- 2)}^{3}$ .

${(- 2)}^{3} + {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} = 0$

Paso 4

Reescribe ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ como ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

${(- 2)}^{3} + {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{3} = 0$

Paso 5

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = - 2$ y $b = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(- 2 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) ({(- 2)}^{2} + 2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}) = 0$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$(- 2 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) (4 + 2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}) = 0$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(- 2 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) (4 + 2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) = 0$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común.

$(- 2 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) (4 + 2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) = 0$

Paso 6.2.2.2

Reescribe la expresión.

$(- 2 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) (4 + 2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 4 - x) = 0$

Paso 6.3

Simplifica.

$(- 2 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) (4 + 2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 4 - x) = 0$

Paso 6.4

Suma $4$ y $4$ .

$(- 2 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 8 - x) = 0$

Paso 6.5

Reordena los términos.

$(- 2 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) (- x + 2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 8) = 0$

Paso 7

Simplifica $(- 2 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) (- x + 2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 8)$ .

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Paso 7.1

Expande $(- 2 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) (- x + 2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 8)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$- 2 (- x) - 2 (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 8 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 = 0$

Paso 7.2

Simplifica los términos.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 x - 2 (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 8 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 = 0$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$2 x - 4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 8 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 = 0$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$2 x - 4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 16 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 = 0$

Paso 7.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x - 4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 16 - {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 = 0$

Paso 7.2.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x - 4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 16 - {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x + 2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 = 0$

Paso 7.2.1.6

Multiplica ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.1.6.1

Mueve ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x - 4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 16 - {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x + 2 ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 = 0$

Paso 7.2.1.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x - 4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 16 - {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x + 2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 = 0$

Paso 7.2.1.6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x - 4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 16 - {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x + 2 {(4 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 = 0$

Paso 7.2.1.6.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 x - 4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 16 - {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x + 2 {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 = 0$

Paso 7.2.1.6.5

Divide $2$ por $2$ .

$2 x - 4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 16 - {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x + 2 {(4 - x)}^{1} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 = 0$

Paso 7.2.1.7

Simplifica $2 {(4 - x)}^{1}$ .

$2 x - 4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 16 - {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x + 2 (4 - x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 = 0$

Paso 7.2.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - 4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 16 - {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x + 2 \cdot 4 + 2 (- x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 = 0$

Paso 7.2.1.9

Multiplica $2$ por $4$ .

$2 x - 4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 16 - {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x + 8 + 2 (- x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 = 0$

Paso 7.2.1.10

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 x - 4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 16 - {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x + 8 - 2 x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 = 0$

Paso 7.2.1.11

Mueve $8$ a la izquierda de ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x - 4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 16 - {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x + 8 - 2 x + 8 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 7.2.2.1

Combina los términos opuestos en $2 x - 4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 16 - {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x + 8 - 2 x + 8 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$0 - 4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 16 - {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x + 8 + 8 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 7.2.2.1.2

Resta $4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ de $0$ .

$- 4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 16 - {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x + 8 + 8 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ y $8 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 16 - {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x + 8 = 0$

Paso 7.2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.2.3.1

Suma $- 16$ y $8$ .

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x - 8 = 0$

Paso 7.2.2.3.2

Reordena los factores en $4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x - 8$ .

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 8 = 0$

Paso 8

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = 0$

Paso 9