Álgebra Ejemplos

$\ln (x) + \ln (x^{2}) = 6$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

Paso 1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

Paso 1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (x^{1 + 2}) = 6$

Paso 1.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\ln (x^{3}) = 6$

Paso 2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{3})} = e^{6}$

Paso 3

Reescribe $\ln (x^{3}) = 6$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{6} = x^{3}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $x^{3} = e^{6}$ .

$x^{3} = e^{6}$

Paso 4.2

Resta $e^{6}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - e^{6} = 0$

Paso 4.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Reescribe $e^{6}$ como ${(e^{2})}^{3}$ .

$x^{3} - {(e^{2})}^{3} = 0$

Paso 4.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = e^{2}$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = 0$

Paso 4.3.3

Simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{2 \cdot 2}) = 0$

Paso 4.3.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{4}) = 0$

Paso 4.3.3.2

Reordena los términos.

$(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$

Paso 4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - e^{2} = 0$

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

Paso 4.5

Establece $x - e^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.1

Establece $x - e^{2}$ igual a $0$ .

$x - e^{2} = 0$

Paso 4.5.2

Suma $e^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = e^{2}$

Paso 4.6

Establece $e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.6.1

Establece $e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ igual a $0$ .

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

Paso 4.6.2

Resuelve $e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$ en $x$ .

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Paso 4.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = e^{2}$ y $c = e^{4}$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3

Simplifica.

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Paso 4.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.2.3.1.1

Reescribe $4 \cdot 1 \cdot e^{4}$ como ${(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e^{2}$ y $b = 2 \cdot 1 \cdot e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot 1 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.3

Simplifica.

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Paso 4.6.2.3.1.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.3.2

Suma $e^{2}$ y $2 e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.3.3

Combina exponentes.

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Paso 4.6.2.3.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.3.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - 2 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.4

Resta $2 e^{2}$ de $e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.5

Combina exponentes.

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Paso 4.6.2.3.1.5.1

Factoriza el negativo.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2} e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.5.2

Multiplica $e^{2}$ por $e^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.6.2.3.1.5.2.1

Mueve $e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 (e^{2} e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2 + 2})}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.5.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.5.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.6

Reescribe $- 3 e^{4}$ como ${(i e^{2})}^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.6.2.3.1.6.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.6.2

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.6.3

Reescribe $e^{4}$ como ${(e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 {(e^{2})}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.6.4

Mueve $3$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} {(e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.6.5

Reescribe $i^{2} {(e^{2})}^{2}$ como ${(i e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(i e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$ verdadera.

$x = e^{2}, - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$