Álgebra Ejemplos

$\log (x) + \log (x + 15) = 2$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x + 15)) = 2$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 15) = 2$

Paso 1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot 15) = 2$

Paso 1.3.2

Mueve $15$ a la izquierda de $x$ .

$\log (x^{2} + 15 x) = 2$

Paso 2

Reescribe $\log (x^{2} + 15 x) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{2} = x^{2} + 15 x$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + 15 x = 10^{2}$ .

$x^{2} + 15 x = 10^{2}$

Paso 3.2

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + 15 x = 100$

Paso 3.3

Resta $100$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 15 x - 100 = 0$

Paso 3.4

Factoriza $x^{2} + 15 x - 100$ con el método AC.

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Paso 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 100$ y cuya suma es $15$ .

$- 5, 20$

Paso 3.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 5) (x + 20) = 0$

Paso 3.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 20 = 0$

Paso 3.6

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 3.6.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 3.7

Establece $x + 20$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.7.1

Establece $x + 20$ igual a $0$ .

$x + 20 = 0$

Paso 3.7.2

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 20$

Paso 3.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 5) (x + 20) = 0$ verdadera.

$x = 5, - 20$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (x) + \log (x + 15) = 2$ sea verdadera.

$x = 5$