Álgebra Ejemplos

A line is perpendicular to $y = - \frac{1}{2} x - 1$ and intersects the point $(6, 9)$ What is the equation of this perpendicular line?

Paso 1

Escribe el problema como una expresión matemática.

$y = - \frac{1}{2} x - 1$ , $(6, 9)$

Paso 2

Obtén la pendiente cuando $y = - \frac{1}{2} x - 1$ .

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Paso 2.1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 2.1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 2.1.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} - 1$

Paso 2.1.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.1.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{2} x) - 1$

Paso 2.1.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{2} x - 1$

Paso 2.2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- \frac{1}{2}$ .

$m = - \frac{1}{2}$

Paso 3

La ecuación de una perpendicular debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original.

$m_{perpendicular} = - \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 4

Simplifica $- \frac{1}{- \frac{1}{2}}$ para obtener la pendiente de la perpendicular.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$m_{perpendicular} = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$m_{perpendicular} = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$m_{perpendicular} = 1 \cdot 2$

Paso 4.3

Multiplica $- - (1 \cdot 2)$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$m_{perpendicular} = - (- 1 \cdot 2)$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$m_{perpendicular} = 2$

Paso 4.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$m_{perpendicular} = 2$

Paso 5

Obtén la ecuación de la línea perpendicular con la fórmula de punto-pendiente.

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Paso 5.1

Usa la pendiente $2$ y un punto dado $(6, 9)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (9) = 2 \cdot (x - (6))$

Paso 5.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 9 = 2 \cdot (x - 6)$

Paso 6

Resuelve $y$

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Paso 6.1

Simplifica $2 \cdot (x - 6)$ .

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Paso 6.1.1

Reescribe.

$y - 9 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 6)$

Paso 6.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 9 = 2 \cdot (x - 6)$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 9 = 2 x + 2 \cdot - 6$

Paso 6.1.4

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$y - 9 = 2 x - 12$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2 x - 12 + 9$

Paso 6.2.2

Suma $- 12$ y $9$ .

$y = 2 x - 3$

Paso 7