Álgebra Ejemplos

What is an equation of the line that passes through the point $(6, 1)$ and is perpendicular to the line $2 x + 3 y = 18$ ?

Paso 1

Escribe el problema como una expresión matemática.

$(6, 1)$ , $2 x + 3 y = 18$

Paso 2

Resuelve $2 x + 3 y = 18$ .

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Paso 2.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y = 18 - 2 x$

Paso 2.2

Divide cada término en $3 y = 18 - 2 x$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $3 y = 18 - 2 x$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{18}{3} + \frac{- 2 x}{3}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{18}{3} + \frac{- 2 x}{3}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{18}{3} + \frac{- 2 x}{3}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1.1

Divide $18$ por $3$ .

$y = 6 + \frac{- 2 x}{3}$

Paso 2.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 6 - \frac{2 x}{3}$

Paso 3

Obtén la pendiente cuando $y = 6 - \frac{2 x}{3}$ .

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Paso 3.1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 3.1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 3.1.2

Reordena $6$ y $- \frac{2 x}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + 6$

Paso 3.1.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.1.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{2}{3} x) + 6$

Paso 3.1.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{2}{3} x + 6$

Paso 3.2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- \frac{2}{3}$ .

$m = - \frac{2}{3}$

Paso 4

La ecuación de una perpendicular debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original.

$m_{perpendicular} = - \frac{1}{- \frac{2}{3}}$

Paso 5

Simplifica $- \frac{1}{- \frac{2}{3}}$ para obtener la pendiente de la perpendicular.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$m_{perpendicular} = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{2}{3}}$

Paso 5.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$m_{perpendicular} = \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Paso 5.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$m_{perpendicular} = 1 (\frac{3}{2})$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$m_{perpendicular} = \frac{3}{2}$

Paso 5.4

Multiplica $- - \frac{3}{2}$ .

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Paso 5.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$m_{perpendicular} = 1 (\frac{3}{2})$

Paso 5.4.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$m_{perpendicular} = \frac{3}{2}$

Paso 6

Obtén la ecuación de la línea perpendicular con la fórmula de punto-pendiente.

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Paso 6.1

Usa la pendiente $\frac{3}{2}$ y un punto dado $(6, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{3}{2} \cdot (x - (6))$

Paso 6.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = \frac{3}{2} \cdot (x - 6)$

Paso 7

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 7.1

Resuelve $y$

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Paso 7.1.1

Simplifica $\frac{3}{2} \cdot (x - 6)$ .

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Paso 7.1.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{3}{2} \cdot (x - 6)$

Paso 7.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = \frac{3}{2} \cdot (x - 6)$

Paso 7.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 6$

Paso 7.1.1.4

Combina $\frac{3}{2}$ y $x$ .

$y - 1 = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 6$

Paso 7.1.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$y - 1 = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (- 3))$

Paso 7.1.1.5.2

Cancela el factor común.

$y - 1 = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 3)$

Paso 7.1.1.5.3

Reescribe la expresión.

$y - 1 = \frac{3 x}{2} + 3 \cdot - 3$

Paso 7.1.1.6

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$y - 1 = \frac{3 x}{2} - 9$

Paso 7.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{3 x}{2} - 9 + 1$

Paso 7.1.2.2

Suma $- 9$ y $1$ .

$y = \frac{3 x}{2} - 8$

Paso 7.2

Reordena los términos.

$y = \frac{3}{2} x - 8$

Paso 8