Álgebra Ejemplos

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Paso 1

Multiplica cada término por un factor de $1$ que igualará todos los denominadores. En este caso, todos los términos necesitan un denominador de $2$ .

$\cos^{2} (θ) \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2

Multiplica la expresión por un factor de $1$ para crear el mínimo común denominador (mcd) de $2$ .

$\cos^{2} (θ) \cdot 2$

Paso 3

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos^{2} (θ)$ .

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4

Simplifica $\cos^{2} (θ) \cdot \frac{2}{2}$ .

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Paso 4.1

Divide $2$ por $2$ .

$\cos^{2} (θ) \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Paso 4.2

Multiplica $\cos^{2} (θ)$ por $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Paso 5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 6

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 6.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 6.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 6.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 6.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 6.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 6.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 6.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 6.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 8

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 9

Resuelve $θ$ en $\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 9.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Paso 9.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{4}$

Paso 9.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Paso 9.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 9.4.2

Combina fracciones.

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Paso 9.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 9.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 9.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$θ = \frac{8 π - π}{4}$

Paso 9.4.3.2

Resta $π$ de $8 π$ .

$θ = \frac{7 π}{4}$

Paso 9.5

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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Paso 9.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 9.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 9.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 9.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 9.6

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Resuelve $θ$ en $\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 10.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 10.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Paso 10.3

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Paso 10.4

Simplifica $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Paso 10.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Paso 10.4.2

Combina fracciones.

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Paso 10.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Paso 10.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Paso 10.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$θ = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Paso 10.4.3.2

Resta $3 π$ de $8 π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Paso 10.5

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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Paso 10.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 10.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 10.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 10.6

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 11

Enumera todas las soluciones.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 12

Consolida las respuestas.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$