Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 5 x} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \div \frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 16}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 5 x} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{x^{2} - 5 x} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 5 x} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - 5 x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x \cdot x - 5 x} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 3.1.2

Factoriza $x$ de $- 5 x$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x \cdot x + x \cdot - 5} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 3.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 3.2

Factoriza $x$ de $5 x - x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $x$ de $5 x$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{x \cdot 5 - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 3.2.2

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{x \cdot 5 + x (- x)}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 3.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 5 + x (- x)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{x (5 - x)}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} - x - 12$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 4, 3$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{x (5 - x)}{(x - 4) (x + 3)} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x + 3$ de $(x - 4) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{x (5 - x)}{(x + 3) (x - 4)} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{x (5 - x)}{(x + 3) (x - 4)} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 3}{x (x - 5)} \cdot \frac{x (5 - x)}{x - 4} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x - 3}{x (x - 5)} \cdot \frac{x (5 - x)}{x - 4} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{5 - x}{x - 4} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{x - 3}{x - 5}$ por $\frac{5 - x}{x - 4}$ .

$\frac{(x - 3) (5 - x)}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $5 - x$ y $x - 5$ .

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Paso 5.4.1

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$\frac{(x - 3) (- 1 (- 5) - x)}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 5.4.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(x - 3) (- 1 (- 5) - (x))}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 5.4.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 5) - (x)$ .

$\frac{(x - 3) (- 1 (- 5 + x))}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 5.4.4

Reordena los términos.

$\frac{(x - 3) (- 1 (x - 5))}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 5.4.5

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 3) (- 1 (x - 5))}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 5.4.6

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 3) \cdot (- 1)}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x - 3$ .

$\frac{- 1 \cdot (x - 3)}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 5.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Paso 6

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 6.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$- \frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 4^{2}}{x - 4}$

Paso 6.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Paso 6.3

Reescribe el polinomio.

$- \frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}{x - 4}$

Paso 6.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$- \frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{x - 4}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 7.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x - 3}{x - 4}$ al numerador.

$\frac{- (x - 3)}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{x - 4}$

Paso 7.1.2

Factoriza $x - 4$ de ${(x - 4)}^{2}$ .

$\frac{- (x - 3)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 4)}{x - 4}$

Paso 7.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- (x - 3)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 4)}{x - 4}$

Paso 7.1.4

Reescribe la expresión.

$- (x - 3) \frac{x - 4}{x - 4}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$- (x - 3) \frac{x - 4}{x - 4}$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$- (x - 3) \cdot 1$

Paso 7.3

Multiplica $- (x - 3)$ por $1$ .

$- (x - 3)$

Paso 7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- x - - 3$

Paso 7.5

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$- x + 3$