Álgebra Ejemplos

$- 3$ y $- \frac{2}{3}$

Paso 1

$x = - 3$ y $x = - \frac{2}{3}$ son las dos soluciones reales distintas para la ecuación cuadrática, lo que significa que $x + 3$ y $x + \frac{2}{3}$ son los factores de la ecuación cuadrática.

$(x + 3) (x + \frac{2}{3}) = 0$

Paso 2

Expande $(x + 3) (x + \frac{2}{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x + \frac{2}{3}) + 3 (x + \frac{2}{3}) = 0$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x (\frac{2}{3}) + 3 (x + \frac{2}{3}) = 0$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x (\frac{2}{3}) + 3 x + 3 (\frac{2}{3}) = 0$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x (\frac{2}{3}) + 3 x + 3 (\frac{2}{3}) = 0$

Paso 3.1.2

Combina $x$ y $\frac{2}{3}$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot 2}{3} + 3 x + 3 (\frac{2}{3}) = 0$

Paso 3.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot x}{3} + 3 x + 3 (\frac{2}{3}) = 0$

Paso 3.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{2 x}{3} + 3 x + 3 (\frac{2}{3}) = 0$

Paso 3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{2 x}{3} + 3 x + 2 = 0$

Paso 3.2

Para escribir $3 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{2 x}{3} + 3 x \cdot \frac{3}{3} + 2 = 0$

Paso 3.3

Combina $3 x$ y $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{3 x \cdot 3}{3} + 2 = 0$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} + \frac{2 x + 3 x \cdot 3}{3} + 2 = 0$

Paso 3.5

Para escribir $x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x + 3 x \cdot 3}{3} + 2 = 0$

Paso 3.6

Combina $x^{2}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{3} + \frac{2 x + 3 x \cdot 3}{3} + 2 = 0$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} \cdot 3 + 2 x + 3 x \cdot 3}{3} + 2 = 0$

Paso 3.8

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 + 2 x + 3 x \cdot 3}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} = 0$

Paso 3.9

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 + 2 x + 3 x \cdot 3}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} = 0$

Paso 3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} \cdot 3 + 2 x + 3 x \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3} = 0$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot x^{2} + 2 x + 3 x \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3} = 0$

Paso 4.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 9 x + 2 \cdot 3}{3} = 0$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 9 x + 6}{3} = 0$

Paso 4.4

Suma $2 x$ y $9 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 11 x + 6}{3} = 0$

Paso 4.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 6 = 18$ y cuya suma es $b = 11$ .

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Paso 4.5.1.1

Factoriza $11$ de $11 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 11 (x) + 6}{3} = 0$

Paso 4.5.1.2

Reescribe $11$ como $2$ más $9$

$\frac{3 x^{2} + (2 + 9) x + 6}{3} = 0$

Paso 4.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 9 x + 6}{3} = 0$

Paso 4.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 x^{2} + 2 x) + 9 x + 6}{3} = 0$

Paso 4.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (3 x + 2) + 3 (3 x + 2)}{3} = 0$

Paso 4.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 2$ .

$\frac{(3 x + 2) (x + 3)}{3} = 0$

Paso 5

Expande $(3 x + 2) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x (x + 3) + 2 (x + 3)}{3} = 0$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot 3 + 2 (x + 3)}{3} = 0$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3}{3} = 0$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3}{3} = 0$

Paso 6.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3}{3} = 0$

Paso 6.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 9 x + 2 x + 2 \cdot 3}{3} = 0$

Paso 6.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 9 x + 2 x + 6}{3} = 0$

Paso 6.2

Suma $9 x$ y $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 11 x + 6}{3} = 0$

Paso 7

Divide la fracción $\frac{3 x^{2} + 11 x + 6}{3}$ en dos fracciones.

$\frac{3 x^{2} + 11 x}{3} + \frac{6}{3} = 0$

Paso 8

Divide la fracción $\frac{3 x^{2} + 11 x}{3}$ en dos fracciones.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{11 x}{3} + \frac{6}{3} = 0$

Paso 9

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{11 x}{3} + \frac{6}{3} = 0$

Paso 9.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{11 x}{3} + \frac{6}{3} = 0$

Paso 10

Divide $6$ por $3$ .

$x^{2} + \frac{11 x}{3} + 2 = 0$

Paso 11

La ecuación cuadrática estándar en función del conjunto dado de soluciones ${- 3, - \frac{2}{3}}$ es $y = x^{2} + \frac{11 x}{3} + 2$ .

$y = x^{2} + \frac{11 x}{3} + 2$

Paso 12