Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{x + 5} = \frac{2 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Paso 1

Resta $\frac{2 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{x + 5} - \frac{2 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{x + 5} - \frac{2 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2} + 3 x - 10$ con el método AC.

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Paso 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $3$ .

$- 2, 5$

Paso 2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{x + 5} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{1}{x - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{2}{x + 5} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Paso 2.3

Para escribir $- \frac{2}{x + 5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{2}{x + 5} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 2) (x + 5)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{1}{x - 2}$ por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x + 5}{(x - 2) (x + 5)} - \frac{2}{x + 5} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{2}{x + 5}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 5}{(x - 2) (x + 5)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(x - 2) (x + 5)$ .

$\frac{x + 5}{(x + 5) (x - 2)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + 5 - 2 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + 5 - 2 (x - 2) - (2 x - 1)}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Paso 2.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 5 - 2 x - 2 \cdot - 2 - (2 x - 1)}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Paso 2.7.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{x + 5 - 2 x + 4 - (2 x - 1)}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Paso 2.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 5 - 2 x + 4 - (2 x) - - 1}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Paso 2.7.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x + 5 - 2 x + 4 - 2 x - - 1}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Paso 2.7.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x + 5 - 2 x + 4 - 2 x + 1}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Paso 2.8

Resta $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x + 5 + 4 - 2 x + 1}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Paso 2.9

Resta $2 x$ de $- x$ .

$\frac{- 3 x + 5 + 4 + 1}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Paso 2.10

Suma $5$ y $4$ .

$\frac{- 3 x + 9 + 1}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Paso 2.11

Suma $9$ y $1$ .

$\frac{- 3 x + 10}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Paso 2.12

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 10}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Paso 2.13

Reescribe $10$ como $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 10)}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Paso 2.14

Factoriza $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 x - 10)}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Paso 2.15

Reescribe $- (3 x - 10)$ como $- 1 (3 x - 10)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 10)}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Paso 2.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 x - 10}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{3 x - 10}{(x + 5) (x - 2)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x + 5) (x - 2) = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 4.2

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 4.2.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 4.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 5) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - 5, 2$

Paso 5

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 5, x = 2$

Paso 6