Álgebra Ejemplos

$2^{x} \cdot 3^{x + 1} = 15$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{x} \cdot 3^{x + 1}) = \ln (15)$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (2^{x} \cdot 3^{x + 1})$ como $\ln (2^{x}) + \ln (3^{x + 1})$ .

$\ln (2^{x}) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (15)$

Paso 2.2

Expande $\ln (2^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (2) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (15)$

Paso 2.3

Expande $\ln (3^{x + 1})$ ; para ello, mueve $x + 1$ fuera del logaritmo.

$x \ln (2) + (x + 1) \ln (3) = \ln (15)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (15)$

Paso 3.1.2

Multiplica $\ln (3)$ por $1$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (3) = \ln (15)$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (3) - \ln (15) = 0$

Paso 5

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3}{15}) = 0$

Paso 6

Cancela el factor común de $3$ y $15$ .

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Paso 6.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3 (1)}{15}) = 0$

Paso 6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}) = 0$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}) = 0$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{1}{5}) = 0$

Paso 7

Resta $\ln (\frac{1}{5})$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (2) + x \ln (3) = - \ln (\frac{1}{5})$

Paso 8

Factoriza $x$ de $x \ln (2) + x \ln (3)$ .

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Paso 8.1

Factoriza $x$ de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) + x \ln (3) = - \ln (\frac{1}{5})$

Paso 8.2

Factoriza $x$ de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (2)) + x (\ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$

Paso 8.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (2)) + x (\ln (3))$ .

$x (\ln (2) + \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$

Paso 9

Divide cada término en $x (\ln (2) + \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$ por $\ln (2) + \ln (3)$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $x (\ln (2) + \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$ por $\ln (2) + \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3))}{\ln (2) + \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2) + \ln (3)$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3))}{\ln (2) + \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Paso 9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Forma decimal:

$x = 0.89824440 \dots$