Álgebra Ejemplos

$f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$

Paso 1

Escribe $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$ como una ecuación.

$y = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = {(\frac{\sqrt[7]{y}}{10})}^{5} + 1$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[7]{y}}{10}$ .

$x = \frac{{\sqrt[7]{y}}^{5}}{10^{5}} + 1$

Paso 3.1.2

Reescribe ${\sqrt[7]{y}}^{5}$ como $\sqrt[7]{y^{5}}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{5}}}{10^{5}} + 1$

Paso 3.1.3

Eleva $10$ a la potencia de $5$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{5}}}{100000} + 1$

Paso 3.2

Reescribe la ecuación como $\frac{\sqrt[7]{y^{5}}}{100000} + 1 = x$ .

$\frac{\sqrt[7]{y^{5}}}{100000} + 1 = x$

Paso 3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{y^{5}}$ como $y^{\frac{5}{7}}$ .

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} + 1 = x$

Paso 3.4

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} - x = - 1$

Paso 3.4.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} = - 1 + x$

Paso 3.5

Multiplica ambos lados de la ecuación por $100000$ .

$100000 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} = 100000 (- 1 + x)$

Paso 3.6

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.1.1

Cancela el factor común de $100000$ .

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Paso 3.6.1.1.1

Cancela el factor común.

$100000 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} = 100000 (- 1 + x)$

Paso 3.6.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{5}{7}} = 100000 (- 1 + x)$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.1

Simplifica $100000 (- 1 + x)$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{\frac{5}{7}} = 100000 \cdot - 1 + 100000 x$

Paso 3.6.2.1.2

Multiplica $100000$ por $- 1$ .

$y^{\frac{5}{7}} = - 100000 + 100000 x$

Paso 3.7

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{7}{5}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 3.8

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.1

Simplifica ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

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Paso 3.8.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

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Paso 3.8.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 3.8.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.8.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 3.8.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 3.8.1.1.3

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.8.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 3.8.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 3.8.1.2

Simplifica.

$y = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1))}^{\frac{7}{5}}$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[7]{x}}{10}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{5}}{10^{5}} + 1))}^{\frac{7}{5}}$

Paso 5.2.3.1.2

Reescribe ${\sqrt[7]{x}}^{5}$ como $\sqrt[7]{x^{5}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{\sqrt[7]{x^{5}}}{10^{5}} + 1))}^{\frac{7}{5}}$

Paso 5.2.3.1.3

Eleva $10$ a la potencia de $5$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{\sqrt[7]{x^{5}}}{100000} + 1))}^{\frac{7}{5}}$

Paso 5.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{\sqrt[7]{x^{5}}}{100000}) + 100000 \cdot 1)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 5.2.3.3

Cancela el factor común de $100000$ .

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Paso 5.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{\sqrt[7]{x^{5}}}{100000}) + 100000 \cdot 1)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 5.2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + \sqrt[7]{x^{5}} + 100000 \cdot 1)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 5.2.3.4

Multiplica $100000$ por $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + \sqrt[7]{x^{5}} + 100000)}^{\frac{7}{5}}$

Paso 5.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los términos opuestos en $- 100000 + \sqrt[7]{x^{5}} + 100000$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Suma $- 100000$ y $100000$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(0 + \sqrt[7]{x^{5}})}^{\frac{7}{5}}$

Paso 5.2.4.1.2

Suma $0$ y $\sqrt[7]{x^{5}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {\sqrt[7]{x^{5}}}^{\frac{7}{5}}$

Paso 5.2.4.2

Reescribe ${\sqrt[7]{x^{5}}}^{\frac{7}{5}}$ como $x$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{x^{5}}$ como $x^{\frac{5}{7}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(x^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$

Paso 5.2.4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}}$

Paso 5.2.4.2.3

Multiplica $\frac{5}{7}$ por $\frac{7}{5}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 5}}$

Paso 5.2.4.2.4

Multiplica $5$ por $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{35}{7 \cdot 5}}$

Paso 5.2.4.2.5

Multiplica $7$ por $5$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{35}{35}}$

Paso 5.2.4.2.6

Cancela el factor común de $35$ .

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Paso 5.2.4.2.6.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{35}{35}}$

Paso 5.2.4.2.6.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x$

Paso 5.2.4.2.7

Simplifica.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{\sqrt[7]{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}}}{10})}^{5} + 1$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1.1

Reescribe ${(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$ como ${({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}})}^{7}$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{\sqrt[7]{{({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}})}^{7}}}{10})}^{5} + 1$

Paso 5.3.3.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5} + 1$

Paso 5.3.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}}}{10}$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{{({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{10^{5}} + 1$

Paso 5.3.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 5.3.3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{10^{5}} + 1$

Paso 5.3.3.3.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{10^{5}} + 1$

Paso 5.3.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{- 100000 + 100000 x}{10^{5}} + 1$

Paso 5.3.3.3.2

Simplifica.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{- 100000 + 100000 x}{10^{5}} + 1$

Paso 5.3.3.3.3

Factoriza $100000$ de $- 100000 + 100000 x$ .

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Paso 5.3.3.3.3.1

Factoriza $100000$ de $- 100000$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{100000 \cdot - 1 + 100000 x}{10^{5}} + 1$

Paso 5.3.3.3.3.2

Factoriza $100000$ de $100000 \cdot - 1 + 100000 x$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{100000 (- 1 + x)}{10^{5}} + 1$

Paso 5.3.3.4

Eleva $10$ a la potencia de $5$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{100000 (- 1 + x)}{100000} + 1$

Paso 5.3.3.5

Cancela el factor común de $100000$ .

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Paso 5.3.3.5.1

Cancela el factor común.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{100000 (- 1 + x)}{100000} + 1$

Paso 5.3.3.5.2

Divide $- 1 + x$ por $1$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = - 1 + x + 1$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $- 1 + x + 1$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$