Álgebra Ejemplos

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica $\frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$ .

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \log_{5} (405) + \frac{3}{4} (- \log_{5} (5))$

Paso 1.1.2

Combina $\frac{3}{4}$ y $\log_{5} (405)$ .

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} + \frac{3}{4} (- \log_{5} (5))$

Paso 1.1.3

Combina $\frac{3}{4}$ y $\log_{5} (5)$ .

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$

Paso 2

Multiplica cada término en $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ por $4$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ por $4$ .

$\log_{5} (3 k + 12) \cdot 4 = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Mueve $4$ a la izquierda de $\log_{5} (3 k + 12)$ .

$4 \log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Paso 2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ al numerador.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) + \frac{- 3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) + \frac{- 3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) - 3 \log_{5} (5)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $4 \log_{5} (3 k + 12)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = 3 \log_{5} (405) - 3 \log_{5} (5)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Simplifica $3 \log_{5} (405)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (405^{3}) - 3 \log_{5} (5)$

Paso 4.1.2

Eleva $405$ a la potencia de $3$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3 \log_{5} (5)$

Paso 4.1.3

El logaritmo en base $5$ de $5$ es $1$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) - \log_{5} (66430125) = - 3$

Paso 6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 k + 12)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Factoriza $3$ de $3 k + 12$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $3$ de $3 k$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 (k) + 12)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Paso 7.1.2

Factoriza $3$ de $12$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 k + 3 \cdot 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Paso 7.1.3

Factoriza $3$ de $3 k + 3 \cdot 4$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 (k + 4))}^{4}}{66430125}) = - 3$

Paso 7.2

Aplica la regla del producto a $3 (k + 4)$ .

$\log_{5} (\frac{3^{4} {(k + 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Paso 7.3

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Paso 8

Cancela el factor común de $81$ y $66430125$ .

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Paso 8.1

Factoriza $81$ de $81 {(k + 4)}^{4}$ .

$\log_{5} (\frac{81 ({(k + 4)}^{4})}{66430125}) = - 3$

Paso 8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.1

Factoriza $81$ de $66430125$ .

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{81 \cdot 820125}) = - 3$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{81 \cdot 820125}) = - 3$

Paso 8.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{5} (\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}) = - 3$

Paso 9

Reescribe $\log_{5} (\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}) = - 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{- 3} = \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}$

Paso 10

Resuelve $k$

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 5^{- 3}$ .

$\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 5^{- 3}$

Paso 10.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $820125$ .

$820125 \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

Paso 10.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 10.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.3.1.1

Cancela el factor común de $820125$ .

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Paso 10.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$820125 \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

Paso 10.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

Paso 10.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.3.2.1

Simplifica $820125 \cdot 5^{- 3}$ .

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Paso 10.3.2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot \frac{1}{5^{3}}$

Paso 10.3.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot \frac{1}{125}$

Paso 10.3.2.1.3

Cancela el factor común de $125$ .

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Paso 10.3.2.1.3.1

Factoriza $125$ de $820125$ .

${(k + 4)}^{4} = 125 (6561) \cdot \frac{1}{125}$

Paso 10.3.2.1.3.2

Cancela el factor común.

${(k + 4)}^{4} = 125 \cdot 6561 \cdot \frac{1}{125}$

Paso 10.3.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

${(k + 4)}^{4} = 6561$

Paso 10.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$k + 4 = \pm \sqrt[4]{6561}$

Paso 10.5

Simplifica $\pm \sqrt[4]{6561}$ .

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Paso 10.5.1

Reescribe $6561$ como $9^{4}$ .

$k + 4 = \pm \sqrt[4]{9^{4}}$

Paso 10.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$k + 4 = \pm 9$

Paso 10.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 10.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$k + 4 = 9$

Paso 10.6.2

Mueve todos los términos que no contengan $k$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.6.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$k = 9 - 4$

Paso 10.6.2.2

Resta $4$ de $9$ .

$k = 5$

Paso 10.6.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$k + 4 = - 9$

Paso 10.6.4

Mueve todos los términos que no contengan $k$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.6.4.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$k = - 9 - 4$

Paso 10.6.4.2

Resta $4$ de $- 9$ .

$k = - 13$

Paso 10.6.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$k = 5, - 13$

Paso 11

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$ sea verdadera.

$k = 5$