Álgebra Ejemplos

$\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \frac{1}{2} = \log_{9} (\sqrt{x + 1})$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \log_{9} (\sqrt{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{10 x + 5}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Paso 3

Factoriza $5$ de $10 x + 5$ .

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Paso 3.1

Factoriza $5$ de $10 x$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x) + 5}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Paso 3.2

Factoriza $5$ de $5$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x) + 5 (1)}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Paso 3.3

Factoriza $5$ de $5 (2 x) + 5 (1)$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Paso 4

Multiplica $\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Paso 5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Paso 5.2

Eleva $\sqrt{x + 1}$ a la potencia de $1$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Paso 5.3

Eleva $\sqrt{x + 1}$ a la potencia de $1$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Paso 5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}) = \frac{1}{2}$

Paso 5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}) = \frac{1}{2}$

Paso 5.6

Reescribe ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ como $x + 1$ .

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Paso 5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) = \frac{1}{2}$

Paso 5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) = \frac{1}{2}$

Paso 5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}) = \frac{1}{2}$

Paso 5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.6.4.1

Cancela el factor común.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}) = \frac{1}{2}$

Paso 5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Paso 5.6.5

Simplifica.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Paso 6

Combina con la regla del producto para radicales.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Paso 7

Reescribe $\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$9^{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}$

Paso 8

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 9^{\frac{1}{2}} (x + 1)$

Paso 9

Simplifica $9^{\frac{1}{2}} (x + 1)$ .

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Paso 9.1

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + 1)$

Paso 9.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{2 (\frac{1}{2})} (x + 1)$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{2 (\frac{1}{2})} (x + 1)$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{1} (x + 1)$

Paso 9.3

Evalúa el exponente.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 (x + 1)$

Paso 9.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 x + 3 \cdot 1$

Paso 9.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 x + 3$

Paso 10

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} - 3 x = 3$

Paso 11

Suma $3 x$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 + 3 x$

Paso 12

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}^{2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Paso 13

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 13.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}$ como ${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Paso 13.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.1

Simplifica ${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 13.2.1.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 13.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 13.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Paso 13.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Paso 13.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Paso 13.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${((5 (2 x) + 5 \cdot 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Paso 13.2.1.1.3

Multiplica.

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Paso 13.2.1.1.3.1

Multiplica $2$ por $5$ .

${((10 x + 5 \cdot 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Paso 13.2.1.1.3.2

Multiplica $5$ por $1$ .

${((10 x + 5) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Paso 13.2.1.2

Expande $(10 x + 5) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 13.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(10 x (x + 1) + 5 (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Paso 13.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(10 x \cdot x + 10 x \cdot 1 + 5 (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Paso 13.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(10 x \cdot x + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Paso 13.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 13.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 13.2.1.3.1.1.1

Mueve $x$ .

${(10 (x \cdot x) + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Paso 13.2.1.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

${(10 x^{2} + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Paso 13.2.1.3.1.2

Multiplica $10$ por $1$ .

${(10 x^{2} + 10 x + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Paso 13.2.1.3.1.3

Multiplica $5$ por $1$ .

${(10 x^{2} + 10 x + 5 x + 5)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Paso 13.2.1.3.2

Suma $10 x$ y $5 x$ .

${(10 x^{2} + 15 x + 5)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Paso 13.2.1.4

Simplifica.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = {(3 + 3 x)}^{2}$

Paso 13.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.3.1

Simplifica ${(3 + 3 x)}^{2}$ .

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Paso 13.3.1.1

Reescribe ${(3 + 3 x)}^{2}$ como $(3 + 3 x) (3 + 3 x)$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = (3 + 3 x) (3 + 3 x)$

Paso 13.3.1.2

Expande $(3 + 3 x) (3 + 3 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 13.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 (3 + 3 x) + 3 x (3 + 3 x)$

Paso 13.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 x (3 + 3 x)$

Paso 13.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

Paso 13.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 13.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.3.1.3.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 3 (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

Paso 13.3.1.3.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

Paso 13.3.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 x (3 x)$

Paso 13.3.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 x \cdot x$

Paso 13.3.1.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 13.3.1.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 (x \cdot x)$

Paso 13.3.1.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 x^{2}$

Paso 13.3.1.3.1.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 9 x^{2}$

Paso 13.3.1.3.2

Suma $9 x$ y $9 x$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 18 x + 9 x^{2}$

Paso 14

Resuelve $x$

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Paso 14.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 14.1.1

Resta $18 x$ de ambos lados de la ecuación.

$10 x^{2} + 15 x + 5 - 18 x = 9 + 9 x^{2}$

Paso 14.1.2

Resta $9 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$10 x^{2} + 15 x + 5 - 18 x - 9 x^{2} = 9$

Paso 14.1.3

Resta $9 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$x^{2} + 15 x + 5 - 18 x = 9$

Paso 14.1.4

Resta $18 x$ de $15 x$ .

$x^{2} - 3 x + 5 = 9$

Paso 14.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 3 x + 5 - 9 = 0$

Paso 14.3

Resta $9$ de $5$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Paso 14.4

Factoriza $x^{2} - 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 14.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1$

Paso 14.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Paso 14.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 14.6

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.6.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 14.6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 14.7

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.7.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 14.7.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 14.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 1$

Paso 15

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \frac{1}{2} = \log_{9} (\sqrt{x + 1})$ sea verdadera.

$x = 4$