Álgebra Ejemplos

$\frac{x - 1}{8 x} = \frac{x^{2} + 6 x + 5}{8 x^{2}} - \frac{1}{x}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} + 6 x + 5$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $5$ y cuya suma es $6$ .

$1, 5$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x - 1}{8 x} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} - \frac{1}{x}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$8 x, 8 x^{2}, x$

Paso 2.2

Como $8 x, 8 x^{2}, x$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $8, 8, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $x^{1}, x^{2}, x^{1}$ .

Paso 2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.4

Los factores primos para $8$ son $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 2.4.1

$8$ tiene factores de $2$ y $4$ .

$2 \cdot 4$

Paso 2.4.2

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.6

El MCM de $8, 8, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 2.7

Multiplica $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 2.7.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cdot 2$

Paso 2.7.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$8$

Paso 2.8

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x^{1} = x$

$x$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.9

Los factores para $x^{2}$ son $x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocurre $2$ veces.

Paso 2.10

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x^{1} = x$

$x$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.11

El MCM de $x^{1}, x^{2}, x^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x \cdot x$

Paso 2.12

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2}$

Paso 2.13

El MCM para $8 x, 8 x^{2}, x$ es la parte numérica $8$ multiplicada por la parte variable.

$8 x^{2}$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{x - 1}{8 x} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} - \frac{1}{x}$ por $8 x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{x - 1}{8 x} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} - \frac{1}{x}$ por $8 x^{2}$ .

$\frac{x - 1}{8 x} (8 x^{2}) = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 \frac{x - 1}{8 x} x^{2} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$8 \frac{x - 1}{8 (x)} x^{2} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$8 \frac{x - 1}{8 x} x^{2} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 1}{x} x^{2} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x - 1}{x} (x \cdot x) = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{x - 1}{x} (x \cdot x) = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.2.3.3

Reescribe la expresión.

$(x - 1) x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x - 1 x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - 1 x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.2.5.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} - x = 8 \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Factoriza $8$ de $8 x^{2}$ .

$x^{2} - x = 8 \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 (x^{2})} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} - x = 8 \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} - x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.3.1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{2} - x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} - x = (x + 1) (x + 5) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.3.1.4

Expande $(x + 1) (x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - x = x (x + 5) + 1 (x + 5) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.3.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - x = x \cdot x + x \cdot 5 + 1 (x + 5) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.3.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - x = x \cdot x + x \cdot 5 + 1 x + 1 \cdot 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.3.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - x = x^{2} + x \cdot 5 + 1 x + 1 \cdot 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.3.1.5.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 5 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.3.1.5.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 5 x + x + 1 \cdot 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.3.1.5.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 5 x + x + 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.3.1.5.2

Suma $5 x$ y $x$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.3.1.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 + \frac{- 1}{x} (8 x^{2})$

Paso 3.3.1.6.2

Factoriza $x$ de $8 x^{2}$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 + \frac{- 1}{x} (x (8 x))$

Paso 3.3.1.6.3

Cancela el factor común.

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 + \frac{- 1}{x} (x (8 x))$

Paso 3.3.1.6.4

Reescribe la expresión.

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 - (8 x)$

Paso 3.3.1.7

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 - 8 x$

Paso 3.3.2

Resta $8 x$ de $6 x$ .

$x^{2} - x = x^{2} - 2 x + 5$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - x - x^{2} = - 2 x + 5$

Paso 4.2

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - x - x^{2} + 2 x = 5$

Paso 4.3

Combina los términos opuestos en $x^{2} - x - x^{2} + 2 x$ .

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Paso 4.3.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- x + 0 + 2 x = 5$

Paso 4.3.2

Suma $- x$ y $0$ .

$- x + 2 x = 5$

Paso 4.4

Suma $- x$ y $2 x$ .

$x = 5$