Álgebra Ejemplos

$\log (x) + \log (2 - x) < 1$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log (x) + \log (2 - x) = 1$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (2 - x)) = 1$

Paso 2.1.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x \cdot 2 + x (- x)) = 1$

Paso 2.1.2.2

Reordena.

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Paso 2.1.2.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\log (2 \cdot x + x (- x)) = 1$

Paso 2.1.2.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\log (2 \cdot x - x \cdot x) = 1$

Paso 2.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1

Mueve $x$ .

$\log (2 x - (x \cdot x)) = 1$

Paso 2.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (2 x - x^{2}) = 1$

Paso 2.2

Reescribe $\log (2 x - x^{2}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 2 x - x^{2}$

Paso 2.3

Resuelve $x$

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Paso 2.3.1

Reescribe la ecuación como $2 x - x^{2} = 10^{1}$ .

$2 x - x^{2} = 10$

Paso 2.3.2

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x - x^{2} - 10 = 0$

Paso 2.3.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.3.4

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 2$ y $c = - 10$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 10)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 10$ .

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Paso 2.3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.3.5.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 10$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.3.5.1.3

Resta $40$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.3.5.1.4

Reescribe $- 36$ como $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.3.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (36)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.3.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.3.5.1.7

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.3.5.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 6}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.3.5.1.9

Mueve $6$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 6 i}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 6 i}{- 2}$

Paso 2.3.5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 6 i}{- 2}$ .

$x = 1 \pm 3 i$

Paso 2.3.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + 3 i, 1 - 3 i$

Paso 3

Obtén el dominio de $\log (2 x - x^{2}) - 1$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\log (2 x - x^{2})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 x - x^{2} > 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x - x^{2} = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $x$ de $2 x - x^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$x \cdot 2 - x^{2} = 0$

Paso 3.2.2.2

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$x \cdot 2 + x (- x) = 0$

Paso 3.2.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 2 + x (- x)$ .

$x (2 - x) = 0$

Paso 3.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Paso 3.2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.2.5

Establece $2 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.5.1

Establece $2 - x$ igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Paso 3.2.5.2

Resuelve $2 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.5.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 3.2.5.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.2.5.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.2.5.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.5.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 3.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (2 - x) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2$

Paso 3.2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Paso 3.2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 3.2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$2 (- 2) - {(- 2)}^{2} > 0$

Paso 3.2.8.1.3

$- 8$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 3.2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 3.2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$2 (1) - {(1)}^{2} > 0$

Paso 3.2.8.2.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 3.2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 3.2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$2 (4) - {(4)}^{2} > 0$

Paso 3.2.8.3.3

$- 8$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 3.2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 3.2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x < 2$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(0, 2)$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\log (- 2) + \log (2 - (- 2)) < 1$

Paso 5.1.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.1.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.1.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\log (1) + \log (2 - (1)) < 1$

Paso 5.2.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 5.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\log (4) + \log (2 - (4)) < 1$

Paso 5.3.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.3.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.3.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x < 2$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 < x < 2$

Notación de intervalo:

$(0, 2)$

Paso 8