Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 16}{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \div \frac{x^{2} + 12 x + 32}{x^{2} + 18 x + 80}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} - 16}{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 6 x^{2} + 8 x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 3.1.2

Factoriza $x$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + 8 x} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 3.1.3

Factoriza $x$ de $8 x$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 8} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 3.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 6 x)$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 8} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 3.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 8$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x^{2} - 6 x + 8)} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 3.2

Factoriza $x^{2} - 6 x + 8$ con el método AC.

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Paso 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 4, - 2$

Paso 3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x ((x - 4) (x - 2))} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x - 4) (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 100} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x - 4) (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{x^{2} - 10^{2}} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 10$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x - 4) (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{(x + 10) (x - 10)} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x (x - 4) (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{(x + 10) (x - 10)} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 5.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 4}{x (x - 2)} \cdot \frac{2 - x}{(x + 10) (x - 10)} \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{x + 4}{x (x - 2)}$ por $\frac{2 - x}{(x + 10) (x - 10)}$ .

$\frac{(x + 4) (2 - x)}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $2 - x$ y $x - 2$ .

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Paso 5.3.1

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(x + 4) (- 1 (- 2) - x)}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 5.3.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(x + 4) (- 1 (- 2) - (x))}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 5.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{(x + 4) (- 1 (- 2 + x))}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 5.3.4

Reordena los términos.

$\frac{(x + 4) (- 1 (x - 2))}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 4) (- 1 (x - 2))}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 5.3.6

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 4) \cdot (- 1)}{x ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 6

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1

Reescribe.

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x (x - 2) ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 6.2

Reescribe.

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x^{1} ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 6.3

Simplifica.

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x ((x + 10) (x - 10))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 6.4

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x + 4$ .

$\frac{- 1 \cdot (x + 4)}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x + 4}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 80}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 8

Factoriza $x^{2} + 18 x + 80$ con el método AC.

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Paso 8.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $80$ y cuya suma es $18$ .

$8, 10$

Paso 8.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- \frac{x + 4}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x^{2} + 12 x + 32}$

Paso 9

Factoriza $x^{2} + 12 x + 32$ con el método AC.

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Paso 9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $32$ y cuya suma es $12$ .

$4, 8$

Paso 9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- \frac{x + 4}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{(x + 4) (x + 8)}$

Paso 10

Simplifica los términos.

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Paso 10.1

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 10.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x + 4}{x (x + 10) (x - 10)}$ al numerador.

$\frac{- (x + 4)}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{(x + 4) (x + 8)}$

Paso 10.1.2

Factoriza $x + 4$ de $- (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{(x + 4) (x + 8)}$

Paso 10.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 4) \cdot - 1}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{(x + 4) (x + 8)}$

Paso 10.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x (x + 10) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x + 8}$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $x + 10$ .

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Paso 10.2.1

Factoriza $x + 10$ de $x (x + 10) (x - 10)$ .

$\frac{- 1}{(x + 10) (x (x - 10))} \cdot \frac{(x + 8) (x + 10)}{x + 8}$

Paso 10.2.2

Factoriza $x + 10$ de $(x + 8) (x + 10)$ .

$\frac{- 1}{(x + 10) (x (x - 10))} \cdot \frac{(x + 10) (x + 8)}{x + 8}$

Paso 10.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{(x + 10) (x (x - 10))} \cdot \frac{(x + 10) (x + 8)}{x + 8}$

Paso 10.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x (x - 10)} \cdot \frac{x + 8}{x + 8}$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{- 1}{x (x - 10)}$ por $\frac{x + 8}{x + 8}$ .

$\frac{- (x + 8)}{x (x - 10) (x + 8)}$

Paso 10.4

Cancela el factor común de $x + 8$ .

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Paso 10.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- (x + 8)}{x (x - 10) (x + 8)}$

Paso 10.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x (x - 10)}$

Paso 10.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x (x - 10)}$