Álgebra Ejemplos

$f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 1

Escribe $f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$ como una ecuación.

$y = - \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = - \frac{2 y}{y - 1}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica la ecuación por $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (- \frac{2 y}{y - 1}) (y - 1)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica $(y - 1) (x)$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y x - 1 x = (- \frac{2 y}{y - 1}) (y - 1)$

Paso 3.2.1.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y x - x = (- \frac{2 y}{y - 1}) (y - 1)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 3.3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 y}{y - 1}$ al numerador.

$y x - x = \frac{- 2 y}{y - 1} (y - 1)$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común.

$y x - x = \frac{- 2 y}{y - 1} (y - 1)$

Paso 3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$y x - x = - 2 y$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$y x - x + 2 y = 0$

Paso 3.4.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$y x + 2 y = x$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $y x + 2 y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$y (x) + 2 y = x$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $2 y$ .

$y (x) + y \cdot 2 = x$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y (x) + y \cdot 2$ .

$y (x + 2) = x$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (x + 2) = x$ por $x + 2$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (x + 2) = x$ por $x + 2$ .

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{x}{x + 2}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{x}{x + 2}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{x + 2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$ es la inversa de $f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- \frac{2 x}{x - 1}}{(- \frac{2 x}{x - 1}) + 2}$

Paso 5.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{- \frac{2 x}{x - 1} + 2}$

Paso 5.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.1

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{- \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1}}$

Paso 5.2.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{- 2 x + 2 (x - 1)}{x - 1}}$

Paso 5.2.4.3

Reescribe $\frac{- 2 x + 2 (x - 1)}{x - 1}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.4.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x + 2 (x - 1)$ .

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Paso 5.2.4.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (- x) + 2 (x - 1)}{x - 1}}$

Paso 5.2.4.3.1.2

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (x - 1)$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (- x + x - 1)}{x - 1}}$

Paso 5.2.4.3.2

Suma $- x$ y $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 - 1)}{x - 1}}$

Paso 5.2.4.3.3

Resta $1$ de $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot - 1}{x - 1}}$

Paso 5.2.4.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{- 2}{x - 1}}$

Paso 5.2.4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{- \frac{2}{x - 1}}$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.2.5.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{2}{x - 1}}$

Paso 5.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot (- \frac{1}{\frac{2}{x - 1}})$

Paso 5.2.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot (- (1 (\frac{x - 1}{2})))$

Paso 5.2.7

Multiplica $\frac{x - 1}{2}$ por $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot (- \frac{x - 1}{2})$

Paso 5.2.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 x}{x - 1}$ al numerador.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- 2 x}{x - 1} \cdot (- \frac{x - 1}{2})$

Paso 5.2.8.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x - 1}{2}$ al numerador.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- 2 x}{x - 1} \cdot \frac{- (x - 1)}{2}$

Paso 5.2.8.3

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{2 (- x)}{x - 1} \cdot \frac{- (x - 1)}{2}$

Paso 5.2.8.4

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{2 (- x)}{x - 1} \cdot \frac{- (x - 1)}{2}$

Paso 5.2.8.5

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- x}{x - 1} \cdot (- (x - 1))$

Paso 5.2.9

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.2.9.1

Factoriza $x - 1$ de $- (x - 1)$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot - 1)$

Paso 5.2.9.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot - 1)$

Paso 5.2.9.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - x \cdot - 1$

Paso 5.2.10

Multiplica.

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Paso 5.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = 1 x$

Paso 5.2.10.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x}{x + 2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{2 (\frac{x}{x + 2})}{(\frac{x}{x + 2}) - 1}$

Paso 5.3.3

Combina $2$ y $\frac{x}{x + 2}$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x}{x + 2} - 1}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x}{x + 2} - 1 \cdot \frac{x + 2}{x + 2}}$

Paso 5.3.4.2

Combina $- 1$ y $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x}{x + 2} + \frac{- (x + 2)}{x + 2}}$

Paso 5.3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - (x + 2)}{x + 2}}$

Paso 5.3.4.4

Reescribe $\frac{x - (x + 2)}{x + 2}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - x - 1 \cdot 2}{x + 2}}$

Paso 5.3.4.4.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - x - 2}{x + 2}}$

Paso 5.3.4.4.3

Resta $x$ de $x$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{0 - 2}{x + 2}}$

Paso 5.3.4.4.4

Resta $2$ de $0$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{- 2}{x + 2}}$

Paso 5.3.4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{- \frac{2}{x + 2}}$

Paso 5.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{2 x}{x + 2} \cdot (- \frac{x + 2}{2}))$

Paso 5.3.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (- \frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 x}{x + 2}$ al numerador.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{- 2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Paso 5.3.7.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{2 (- x)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Paso 5.3.7.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{2 (- x)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Paso 5.3.7.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{- x}{x + 2} \cdot (x + 2))$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 5.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{- x}{x + 2} \cdot (x + 2))$

Paso 5.3.8.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{x + 2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$ es la inversa de $f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$