Álgebra Ejemplos

$\log_{9} (\frac{10}{2 x}) = \log_{9} (2 x - 3)$

Paso 1

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$\frac{10}{2 x} = 2 x - 3$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Reduce la expresión $\frac{10}{2 x}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.1.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 x} = 2 x - 3$

Paso 2.1.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (x)} = 2 x - 3$

Paso 2.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 5}{2 x} = 2 x - 3$

Paso 2.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{x} = 2 x - 3$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 1, 1$

Paso 2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $\frac{5}{x} = 2 x - 3$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $\frac{5}{x} = 2 x - 3$ por $x$ .

$\frac{5}{x} x = 2 x \cdot x - 3 x$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{x} x = 2 x \cdot x - 3 x$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$5 = 2 x \cdot x - 3 x$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.1.1

Mueve $x$ .

$5 = 2 (x \cdot x) - 3 x$

Paso 2.3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$5 = 2 x^{2} - 3 x$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Reescribe la ecuación como $2 x^{2} - 3 x = 5$ .

$2 x^{2} - 3 x = 5$

Paso 2.4.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$

Paso 2.4.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.4.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ y cuya suma es $b = - 3$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$

Paso 2.4.3.1.2

Reescribe $- 3$ como $2$ más $- 5$

$2 x^{2} + (2 - 5) x - 5 = 0$

Paso 2.4.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 2 x - 5 x - 5 = 0$

Paso 2.4.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.4.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} + 2 x) - 5 x - 5 = 0$

Paso 2.4.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 x (x + 1) - 5 (x + 1) = 0$

Paso 2.4.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 1$ .

$(x + 1) (2 x - 5) = 0$

Paso 2.4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Paso 2.4.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.4.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.4.6

Establece $2 x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.6.1

Establece $2 x - 5$ igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Paso 2.4.6.2

Resuelve $2 x - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.6.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 5$

Paso 2.4.6.2.2

Divide cada término en $2 x = 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.4.6.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 2.4.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 2.4.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Paso 2.4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (2 x - 5) = 0$ verdadera.

$x = - 1, \frac{5}{2}$

Paso 3

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{9} (\frac{10}{2 x}) = \log_{9} (2 x - 3)$ sea verdadera.

$x = \frac{5}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{5}{2}$

Forma decimal:

$x = 2.5$

Forma de número mixto:

$x = 2 \frac{1}{2}$