Álgebra Ejemplos

${(x - 1)}^{2} = 6 - {(y + 4)}^{2}$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.1

Suma ${(y + 4)}^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 6$

Paso 1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x - 1) + {(y + 4)}^{2} = 6$

Paso 1.2.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - 1) - 1 (x - 1) + {(y + 4)}^{2} = 6$

Paso 1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + {(y + 4)}^{2} = 6$

Paso 1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Paso 1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Paso 1.2.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Paso 1.2.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Paso 1.2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} - x - x + 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Paso 1.2.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Paso 1.2.4

Reescribe ${(y + 4)}^{2}$ como $(y + 4) (y + 4)$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + (y + 4) (y + 4) = 6$

Paso 1.2.5

Expande $(y + 4) (y + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 2 x + 1 + y (y + 4) + 4 (y + 4) = 6$

Paso 1.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 2 x + 1 + y \cdot y + y \cdot 4 + 4 (y + 4) = 6$

Paso 1.2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 2 x + 1 + y \cdot y + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4 = 6$

Paso 1.2.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.6.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4 = 6$

Paso 1.2.6.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 4 \cdot y + 4 y + 4 \cdot 4 = 6$

Paso 1.2.6.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 4 y + 4 y + 16 = 6$

Paso 1.2.6.2

Suma $4 y$ y $4 y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 8 y + 16 = 6$

Paso 1.3

Suma $1$ y $16$ .

$x^{2} - 2 x + y^{2} + 8 y + 17 = 6$

Paso 1.4

Mueve $- 2 x$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y + 17 = 6$

Paso 2

Mueve todos los términos que no contengan una variable al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.1

Resta $17$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y = 6 - 17$

Paso 2.2

Resta $17$ de $6$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y = - 11$

Paso 3

Completa el cuadrado de $x^{2} - 2 x$ .

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Paso 3.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Paso 3.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Paso 3.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 3.3.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 3.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 3.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 3.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 3.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Paso 3.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Paso 3.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1$

Paso 4

Sustituye ${(x - 1)}^{2} - 1$ por $x^{2} - 2 x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y = - 11$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 + y^{2} + 8 y = - 11$

Paso 5

Mueve $- 1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

${(x - 1)}^{2} + y^{2} + 8 y = - 11 + 1$

Paso 6

Completa el cuadrado de $y^{2} + 8 y$ .

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Paso 6.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

Paso 6.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 6.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 6.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Paso 6.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{1}$

Paso 6.3.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$d = 4$

Paso 6.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 6.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Paso 6.4.2.1.3

Divide $64$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Paso 6.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Paso 6.4.2.2

Resta $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Paso 6.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + 4)}^{2} - 16$ .

${(y + 4)}^{2} - 16$

Paso 7

Sustituye ${(y + 4)}^{2} - 16$ por $y^{2} + 8 y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y = - 11$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} - 16 = - 11 + 1$

Paso 8

Mueve $- 16$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $16$ a ambos lados.

${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = - 11 + 1 + 16$

Paso 9

Simplifica $- 11 + 1 + 16$ .

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Paso 9.1

Suma $- 11$ y $1$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = - 10 + 16$

Paso 9.2

Suma $- 10$ y $16$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 6$