Álgebra Ejemplos

$2 \log_{3} (x) - \log_{3} (x - 2) = 2$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \log_{3} (x) - \log_{3} (x - 2) = 2$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $2 \log_{3} (x) - \log_{3} (x - 2)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica $2 \log_{3} (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{3} (x^{2}) - \log_{3} (x - 2) = 2$

Paso 2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{x - 2}) = 2$

Paso 3

Reescribe $\log_{3} (\frac{x^{2}}{x - 2}) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{2} = \frac{x^{2}}{x - 2}$

Paso 4

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x^{2} = 3^{2} (x - 2)$

Paso 5

Simplifica $3^{2} (x - 2)$ .

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Paso 5.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} = 9 (x - 2)$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = 9 x + 9 \cdot - 2$

Paso 5.3

Multiplica $9$ por $- 2$ .

$x^{2} = 9 x - 18$

Paso 6

Resta $9 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 9 x = - 18$

Paso 7

Factoriza $x$ de $x^{2} - 9 x$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 9 x = - 18$

Paso 7.2

Factoriza $x$ de $- 9 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 9 = - 18$

Paso 7.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 9$ .

$x (x - 9) = - 18$

Paso 8

Simplifica $x (x - 9)$ .

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 9 = - 18$

Paso 8.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 9 = - 18$

Paso 8.2.2

Mueve $- 9$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 9 x = - 18$

Paso 9

Suma $18$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 9 x + 18 = 0$

Paso 10

Factoriza $x^{2} - 9 x + 18$ con el método AC.

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Paso 10.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $18$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 6, - 3$

Paso 10.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 6) (x - 3) = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 12

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 12.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 13

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 13.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 6) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 6, 3$