Álgebra Ejemplos

$\sqrt{2 x + y} < \sqrt{3 x - y - 1}$

Paso 1

Resuelve $y$

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Paso 1.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{2 x + y}}^{2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Paso 1.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x + y}$ como ${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Simplifica ${({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Paso 1.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Paso 1.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 x + y)}^{1} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Paso 1.2.2.1.2

Simplifica.

$2 x + y < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe ${\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$ como $3 x - y - 1$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x - y - 1}$ como ${(3 x - y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + y < {({(3 x - y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 1.2.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 1.2.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.2.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.2.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{1}$

Paso 1.2.3.1.5

Simplifica.

$2 x + y < 3 x - y - 1$

Paso 1.3

Resuelve $y$

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Paso 1.3.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 1.3.1.1

Suma $y$ a ambos lados de la desigualdad.

$2 x + y + y < 3 x - 1$

Paso 1.3.1.2

Suma $y$ y $y$ .

$2 x + 2 y < 3 x - 1$

Paso 1.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 1.3.2.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 y < 3 x - 1 - 2 x$

Paso 1.3.2.2

Resta $2 x$ de $3 x$ .

$2 y < x - 1$

Paso 1.3.3

Divide cada término en $2 y < x - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.1

Divide cada término en $2 y < x - 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} < \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} < \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 1.3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y < \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 1.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y < \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 2

Obtén la pendiente y la intersección con y para la línea de límite.

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Paso 2.1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 2.1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 2.1.2

Reordena los términos.

$y < \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$

Paso 2.2

Usa la ecuación explícita para obtener la pendiente y la intersección con y.

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Paso 2.2.1

Obtén los valores de $m$ y $b$ con la forma $y = m x + b$ .

$m = \frac{1}{2}$

$b = - \frac{1}{2}$

Paso 2.2.2

La pendiente de la línea es el valor de $m$ y la intersección con y es el valor de $b$ .

Pendiente: $\frac{1}{2}$

intersección con y: $(0, - \frac{1}{2})$

Pendiente: $\frac{1}{2}$

intersección con y: $(0, - \frac{1}{2})$

Pendiente: $\frac{1}{2}$

intersección con y: $(0, - \frac{1}{2})$

Paso 3

Grafica una línea discontinua, luego sombrea el área debajo de la línea de límite, ya que $y$ es menor que $\frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ .

$y < \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 4