Álgebra Ejemplos

$2 x^{4} + 32 x^{2} + 128 = 0$

Paso 1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$2 u^{2} + 32 u + 128 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $2 u^{2} + 32 u + 128$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $2$ de $2 u^{2}$ .

$2 (u^{2}) + 32 u + 128 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $2$ de $32 u$ .

$2 (u^{2}) + 2 (16 u) + 128 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $2$ de $128$ .

$2 u^{2} + 2 (16 u) + 2 \cdot 64 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $2$ de $2 u^{2} + 2 (16 u)$ .

$2 (u^{2} + 16 u) + 2 \cdot 64 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $2$ de $2 (u^{2} + 16 u) + 2 \cdot 64$ .

$2 (u^{2} + 16 u + 64) = 0$

Paso 2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.2.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$2 (u^{2} + 16 u + 8^{2}) = 0$

Paso 2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$16 u = 2 \cdot u \cdot 8$

Paso 2.2.3

Reescribe el polinomio.

$2 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 8$ .

$2 {(u + 8)}^{2} = 0$

Paso 3

Divide cada término en $2 {(u + 8)}^{2} = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $2 {(u + 8)}^{2} = 0$ por $2$ .

$\frac{2 {(u + 8)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 {(u + 8)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.2.1.2

Divide ${(u + 8)}^{2}$ por $1$ .

${(u + 8)}^{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide $0$ por $2$ .

${(u + 8)}^{2} = 0$

Paso 4

Establece $u + 8$ igual a $0$ .

$u + 8 = 0$

Paso 5

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 8$

Paso 6

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = - 8$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 7.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

Paso 7.2

Simplifica $\pm \sqrt{- 8}$ .

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Paso 7.2.1

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

Paso 7.2.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

Paso 7.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

Paso 7.2.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 7.2.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

Paso 7.2.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Paso 7.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

Paso 7.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

Paso 7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 i \sqrt{2}$

Paso 7.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 i \sqrt{2}$

Paso 7.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$