Álgebra Ejemplos

$\log_{2} (4 x) - \log_{2} (x - 5) = \log_{2} (8)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{4 x}{x - 5}) = \log_{2} (8)$

Paso 2

El logaritmo en base $2$ de $8$ es $3$ .

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Paso 2.1

Reescribe como una ecuación.

$\log_{2} (8) = x$

Paso 2.2

Reescribe $\log_{2} (8) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ no es igual a $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 8$

Paso 2.3

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{x} = 2^{3}$

Paso 2.4

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 3$

Paso 2.5

La variable $x$ es igual a $3$ .

$\log_{2} (\frac{4 x}{x - 5}) = 3$

Paso 3

Reescribe $\log_{2} (\frac{4 x}{x - 5}) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{4 x}{x - 5}$

Paso 4

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$4 x = 2^{3} (x - 5)$

Paso 5

Simplifica $2^{3} (x - 5)$ .

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Paso 5.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$4 x = 8 (x - 5)$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x = 8 x + 8 \cdot - 5$

Paso 5.3

Multiplica $8$ por $- 5$ .

$4 x = 8 x - 40$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1

Resta $8 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x - 8 x = - 40$

Paso 6.2

Resta $8 x$ de $4 x$ .

$- 4 x = - 40$

Paso 7

Divide cada término en $- 4 x = - 40$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $- 4 x = - 40$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

Paso 7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 40}{- 4}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Divide $- 40$ por $- 4$ .

$x = 10$