Álgebra Ejemplos

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = {(x^{2} - y^{2})}^{2} + {(2 x y)}^{2}$

Paso 1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + {(2 x y)}^{2} = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x y$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + {(2 x)}^{2} y^{2} = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.2

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 2^{2} x^{2} y^{2} = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Paso 2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Paso 3

Simplifica ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Reescribe ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ como $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = (x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$

Paso 3.2

Expande $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{2} (x^{2} + y^{2}) + y^{2} (x^{2} + y^{2})$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} (x^{2} + y^{2})$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Paso 3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Paso 3.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2 + 2}$

Paso 3.3.1.2.2

Suma $2$ y $2$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4}$

Paso 3.3.2

Suma $x^{2} y^{2}$ y $y^{2} x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1

Reordena $y^{2}$ y $x^{2}$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{4}$

Paso 3.3.2.2

Suma $x^{2} y^{2}$ y $x^{2} y^{2}$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Resta $x^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} = 2 x^{2} y^{2} + y^{4}$

Paso 4.2

Resta $2 x^{2} y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1

Reescribe ${(x^{2} - y^{2})}^{2}$ como $(x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y^{2})$ .

$(x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.3.2

Expande $(x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (x^{2} - y^{2}) - y^{2} (x^{2} - y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- y^{2}) - y^{2} (x^{2} - y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- y^{2}) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 2} + x^{2} (- y^{2}) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.3.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$x^{4} + x^{2} (- y^{2}) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.3.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.3.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.3.3.1.4

Multiplica $y^{2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.3.1.4.1

Mueve $y^{2}$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y^{2} y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.3.3.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2 + 2} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.3.3.1.4.3

Suma $2$ y $2$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.3.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} + 1 y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.3.3.1.6

Multiplica $y^{4}$ por $1$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.3.3.2

Resta $y^{2} x^{2}$ de $- x^{2} y^{2}$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Mueve $y^{2}$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - 1 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.3.3.2.2

Resta $x^{2} y^{2}$ de $- x^{2} y^{2}$ .

$x^{4} - 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.4

Combina los términos opuestos en $x^{4} - 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2}$ .

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Paso 4.4.1

Resta $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$- 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} + 0 - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.4.2

Suma $- 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2}$ y $0$ .

$- 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.5

Suma $- 2 x^{2} y^{2}$ y $4 x^{2} y^{2}$ .

$y^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Paso 4.6

Combina los términos opuestos en $y^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} y^{2}$ .

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Paso 4.6.1

Resta $2 x^{2} y^{2}$ de $2 x^{2} y^{2}$ .

$y^{4} + 0 = y^{4}$

Paso 4.6.2

Suma $y^{4}$ y $0$ .

$y^{4} = y^{4}$

Paso 5

Como los exponentes son iguales, las bases de los exponentes en ambos lados de la ecuación deben ser iguales.

$| y | = | y |$

Paso 6

Reescribe la ecuación de valor absoluto como cuatro ecuaciones sin barras del valor absoluto.

$y = y$

$y = - y$

$- y = y$

$- y = - y$

Paso 7

Después de simplificar, solo hay dos ecuaciones únicas por resolver.

$y = y$

$y = - y$

Paso 8

Resuelve $y = y$ en $y$ .

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.1.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$y - y = 0$

Paso 8.1.2

Resta $y$ de $y$ .

$0 = 0$

Paso 8.2

Como $0 = 0$ , la ecuación siempre será verdadera.

Siempre verdadero

Paso 9

Resuelve $y = - y$ en $y$ .

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$y + y = 0$

Paso 9.1.2

Suma $y$ y $y$ .

$2 y = 0$

Paso 9.2

Divide cada término en $2 y = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 9.2.1

Divide cada término en $2 y = 0$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 9.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 9.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{0}{2}$

Paso 9.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$y = 0$

Paso 10

Enumera todas las soluciones.

$y = 0$

Paso 11

La variable $x$ se canceló.

Todos los números reales

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Todos los números reales

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$