Álgebra Ejemplos

$y = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{1 - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{y}}$

Paso 2

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1 - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{y}} = x$ .

$\frac{1 - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{y}} = x$

Paso 2.2

Multiplica ambos lados por $1 + \sqrt{y}$ .

$\frac{1 - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{y}} (1 + \sqrt{y}) = x (1 + \sqrt{y})$

Paso 2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común de $1 + \sqrt{y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{y}} (1 + \sqrt{y}) = x (1 + \sqrt{y})$

Paso 2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$1 - \sqrt{y} = x (1 + \sqrt{y})$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Simplifica $x (1 + \sqrt{y})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - \sqrt{y} = x \cdot 1 + x \sqrt{y}$

Paso 2.3.2.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 - \sqrt{y} = x + x \sqrt{y}$

Paso 2.4

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Resuelve $\sqrt{y}$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1.1

Resta $x \sqrt{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$1 - \sqrt{y} - x \sqrt{y} = x$

Paso 2.4.1.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sqrt{y} - x \sqrt{y} = x - 1$

Paso 2.4.1.3

Factoriza $\sqrt{y}$ de $- \sqrt{y} - x \sqrt{y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1.3.1

Factoriza $\sqrt{y}$ de $- \sqrt{y}$ .

$\sqrt{y} \cdot - 1 - x \sqrt{y} = x - 1$

Paso 2.4.1.3.2

Factoriza $\sqrt{y}$ de $- x \sqrt{y}$ .

$\sqrt{y} \cdot - 1 + \sqrt{y} (- x) = x - 1$

Paso 2.4.1.3.3

Factoriza $\sqrt{y}$ de $\sqrt{y} \cdot - 1 + \sqrt{y} (- x)$ .

$\sqrt{y} (- 1 - x) = x - 1$

Paso 2.4.1.4

Divide cada término en $\sqrt{y} (- 1 - x) = x - 1$ por $- 1 - x$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1.4.1

Divide cada término en $\sqrt{y} (- 1 - x) = x - 1$ por $- 1 - x$ .

$\frac{\sqrt{y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Paso 2.4.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1.4.2.1

Cancela el factor común de $- 1 - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Paso 2.4.1.4.2.1.2

Divide $\sqrt{y}$ por $1$ .

$\sqrt{y} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Paso 2.4.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{y} = \frac{x - 1}{- 1 - x}$

Paso 2.4.1.4.3.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\sqrt{y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - x}$

Paso 2.4.1.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\sqrt{y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - (x)}$

Paso 2.4.1.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{x - 1}{- 1 (1 + x)}$

Paso 2.4.1.4.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sqrt{y} = - \frac{x - 1}{1 + x}$

Paso 2.4.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y}}^{2} = {(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Paso 2.4.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Paso 2.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.2.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Paso 2.4.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Paso 2.4.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Paso 2.4.3.2.1.2

Simplifica.

$y = {(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Paso 2.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.3.1

Simplifica ${(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.3.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{x - 1}{1 + x}$ .

$y = {(- 1)}^{2} {(\frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Paso 2.4.3.3.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{x - 1}{1 + x}$ .

$y = {(- 1)}^{2} \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 2.4.3.3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = 1 \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 2.4.3.3.1.3

Multiplica $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$ por $1$ .

$y = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{((\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) - 1)}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.3

Elimina los paréntesis.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{((\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) - 1)}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} - 1 \cdot \frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.2

Combina $- 1$ y $\frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} + \frac{- (1 + \sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{1 - \sqrt{x} - (1 + \sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.4

Reescribe $\frac{1 - \sqrt{x} - (1 + \sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}}$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{1 - x^{\frac{1}{2}} - (1 + \sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{1 - x^{\frac{1}{2}} - (1 + x^{\frac{1}{2}})}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.4.3

Sea $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{- 2 u}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.4.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.5

Aplica la regla del producto a $\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{1 + \sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{{(- 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.6.1

Aplica la regla del producto a $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{{(- 2)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.6.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.6.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.6.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.6.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.6.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.6.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.6.4

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.7

Reescribe ${(1 + \sqrt{x})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{(1 + \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.8

Expande $(1 + \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 (1 + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (1 + \sqrt{x})}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + \sqrt{x} (1 + \sqrt{x})}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} \sqrt{x}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.9

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.9.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 1 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} \sqrt{x}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.9.1.2

Multiplica $\sqrt{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} \sqrt{x}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.9.1.3

Multiplica $\sqrt{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.9.1.4

Multiplica $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.9.1.4.1

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.9.1.4.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.9.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.9.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.9.1.5

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.9.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.9.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.9.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.9.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.9.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.9.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.9.1.5.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.4.9.2

Suma $\sqrt{x}$ y $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.5

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{{(\frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{{(\frac{1 + \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.5.3

Reescribe $\frac{1 + \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.3.1

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{{(\frac{2 + \sqrt{x} - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.5.3.2

Resta $\sqrt{x}$ de $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{{(\frac{2 + 0}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.5.3.3

Suma $2$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{{(\frac{2}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 4.2.5.4

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{1 + \sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{2^{2}}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}$

Paso 4.2.5.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}$

Paso 4.2.5.6

Reescribe ${(1 + \sqrt{x})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{(1 + \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})}}$

Paso 4.2.5.7

Expande $(1 + \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 (1 + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (1 + \sqrt{x})}}$

Paso 4.2.5.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + \sqrt{x} (1 + \sqrt{x})}}$

Paso 4.2.5.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Paso 4.2.5.8

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.8.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.8.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + 1 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Paso 4.2.5.8.1.2

Multiplica $\sqrt{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Paso 4.2.5.8.1.3

Multiplica $\sqrt{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Paso 4.2.5.8.1.4

Multiplica $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.8.1.4.1

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Paso 4.2.5.8.1.4.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Paso 4.2.5.8.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1}}}$

Paso 4.2.5.8.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2}}}$

Paso 4.2.5.8.1.5

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.8.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Paso 4.2.5.8.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Paso 4.2.5.8.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}}}$

Paso 4.2.5.8.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.8.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}}}$

Paso 4.2.5.8.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x}}$

Paso 4.2.5.8.1.5.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x}}$

Paso 4.2.5.8.2

Suma $\sqrt{x}$ y $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}$

Paso 4.2.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x} \cdot \frac{1 + 2 \sqrt{x} + x}{4}$

Paso 4.2.7

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.7.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{4 (x)}{1 + 2 \sqrt{x} + x} \cdot \frac{1 + 2 \sqrt{x} + x}{4}$

Paso 4.2.7.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x} \cdot \frac{1 + 2 \sqrt{x} + x}{4}$

Paso 4.2.7.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{x}{1 + 2 \sqrt{x} + x} \cdot (1 + 2 \sqrt{x} + x)$

Paso 4.2.8

Cancela el factor común de $1 + 2 \sqrt{x} + x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.8.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{x}{1 + 2 \sqrt{x} + x} \cdot (1 + 2 \sqrt{x} + x)$

Paso 4.2.8.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{1 - \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Paso 4.3.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Reescribe $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$ como ${(\frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{1 - \sqrt{{(\frac{x - 1}{1 + x})}^{2}}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Paso 4.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{1 - \frac{x - 1}{1 + x}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Paso 4.3.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{x - 1}{1 + x}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Paso 4.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{1 + x - (x - 1)}{1 + x}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Paso 4.3.3.5

Reordena los términos.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Paso 4.3.3.6

Reescribe $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Paso 4.3.3.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Paso 4.3.3.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Paso 4.3.3.6.4

Suma $0$ y $1$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{1 + 1}{x + 1}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Paso 4.3.3.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Paso 4.3.4

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.1

Reescribe $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$ como ${(\frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{1 + \sqrt{{(\frac{x - 1}{1 + x})}^{2}}}$

Paso 4.3.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{1 + \frac{x - 1}{1 + x}}$

Paso 4.3.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{x - 1}{1 + x}}$

Paso 4.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{\frac{1 + x + x - 1}{1 + x}}$

Paso 4.3.4.5

Reordena los términos.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}}$

Paso 4.3.4.6

Reescribe $\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.6.1

Suma $x$ y $x$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}$

Paso 4.3.4.6.2

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{\frac{2 x + 0}{x + 1}}$

Paso 4.3.4.6.3

Suma $2 x$ y $0$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{\frac{2 x}{x + 1}}$

Paso 4.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2 x}$

Paso 4.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.6.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2 (x)}$

Paso 4.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2 x}$

Paso 4.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x}$

Paso 4.3.7

Cancela el factor común de $x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.7.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x}$

Paso 4.3.7.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{1}{x}$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$